Probabilidade + Plana

por semente123 Dom 21 Out 2012, 17:26

Um ponto M é selecionado ao acaso no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, constói-se um quadrado, também centrado em O, que tem M como ponto médio de um de seus lados. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído seja inteiramente contido no círculo C.

por **Robson Jr.** Seg 22 Out 2012, 01:36

Espaço amostral:

O ponto M está no interior do círculo, logo está presente numa região de área:

$\small S_1=\pi.2^2=4\pi$

Espaço favorável:

Seja OM = x. O quadrado estará no interior do círculo se metade de sua diagonal for menor que o raio:

$\small x\sqrt{2}<2 \Rightarrow x<\sqrt{2}$

Em palavras: M deverá estar no interior de uma região circular de raio √2.

$\small S_2=\pi.\sqrt{2}^2=2\pi$

Probabilidade:

Quanto maior for a área S2 em relação a S1, mais provável será que M cumpra o enunciado.

$\small P=\frac{S_2}{S_1}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$

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