sistema linear quatro incógnitas

por puiff Qua 17 Out 2012, 16:32

Resolver o sistema:

-x+y-2z=1
2x-y+3t=2
x-2y+z-2t=0

No gabarito a resposta é: -12-13λ, -11-11λ, λ, 5+5λ
Eu consegui desenvolver até aqui:

$\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 & 0 &1 \\ 2 & -1 &0 & 3 & 2\\ 1& -2 &1 &-2 &0 \end{vmatrix} \Rightarrow (-1)L1 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 &0 &-1 \\ 2& -1 &0 & 3 &2 \\ 1& -2 &1 &-2 &0 \end{vmatrix}$

L2-2L1 e L3-L1

$\begin{vmatrix} 1& -1 & 2 &0 &-1 \\ 0& 1 &-4 &3 &4 \\ 0& -1 &-1 &-2 &1 \end{vmatrix}$

L3+L2

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 &0 & -1\\ 0& 1 &-4 &3 &4 \\ 0& 0 &-5 & 1 &5 \end{vmatrix}$

(-1)(1/5)L3

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 &-1 \\ 0& 1 & -4 &3 &4 \\ 0& 0 &1 &-\frac{1}{5} & -1 \end{vmatrix}$

A partir daqui não sei o que fazer, alguém poderia me ajudar?

por aprentice Qua 17 Out 2012, 17:06

-x+y-2z=1
2x-y+3t=2
x-2y+z-2t=0

4 incognitas e 3 equações.Assumindo z como variavel livre (qualquer uma delas é livre):
z = a

-x + y = 1 + 2a (i)
2x - y + 3t = 2 (ii)
x-2y-2t = -a (iii)

2*(ii)+3*(iii): 7x-8y = 4 -3a (iv)
7*(i) + (iv): -7x + 7x + 7y -8y = 7 + 14a + 4 - 3a => -y = 11a + 11 => y = -11a - 11
Substituindo y em (i): -x - 11a - 11 = 1 + 2a => x = -13a - 12

(Para facilitar os cálculos): 2*(i) + (ii): y + 3t = 4 + 4a => 3t = 15 + 15a => t = 5a + 5

S = {-13a - 12, -11a - 11, a, 5a + 5}

por puiff Qui 18 Out 2012, 19:39

Muito obrigada pela ajuda aprentice, mas acabei me enrolando na sua resolução, é que não sou acostumada resolver sistemas desse seu jeito, acho mais complicado ^^

por aprentice Qui 18 Out 2012, 23:49

O importante é criar um novo sistema de n incognitas e n equações substituindo as variaveis livres por valores arbitrarios.
O sistema a ser, de fato, resolvido é:

-x + y = 1 + 2a
2x - y + 3t = 2
x-2y-2t = -a

O determinante da matriz de coeficientes é:
$sistema linear quatro incógnitas Gif$
O determinante em relação a x é:
$sistema linear quatro incógnitas Gif$
Em relação a y é:
$sistema linear quatro incógnitas Gif$
Em relação a t é:
$sistema linear quatro incógnitas Gif$

Donde segue:
$sistema linear quatro incógnitas Gif$

Logo:
S = {-12-13a, -11-11a, a, 5a+5}

E um adendo, determinantes só são definidos para matrizes quadradas.Você fez uma matrix 3x5, não tem determinante.

por puiff Sex 19 Out 2012, 13:54

Entendi, obrigada aprentice.

por aprentice Sex 19 Out 2012, 14:05

Nada.
E alias, eu prefiro resolver sistemas lineares por escalonamento e substituição.Dá menos trabalho.
Matrizes só pra quando é necessário discutir o sistema.