(OMERJ-98)Função

a) Encontre todas as soluções inteiras e positivas de , onde p é um número primo [cada solução é um par ordenado (x,y)].
b) Encontre pelo menos 5 soluções inteiras e positivas de
Não acho o gabarito dessa prova no site nem na internet se alguém tiver ajudaria se postasse.

Spoiler:

Amigo se fazemos um sistema do tipo:

x.y = 1998
x+y = 1

será que sai alguma coisa? Um abraço!

a)1/x + 1/y = 1/p => x + y = xy/p (1)

Como x e y são inteiros e p é primo, temos duas possibilidades:

1ª - x é múltiplo de p:

Nesse caso temos x = kp, com k ∈ ℕ*. Substituindo em (1):

kp + y = kpy/p => y(k - 1) = kp => y = kp/(k - 1) (2)

Como todas as variáveis envolvidas são inteiras e k-1 não divide k, devemos ter necessariamente que k-1 divide p. Mas como p é número primo, este deve então ser numericamente igual a k-1. Substituindo em (2):

y = [k(k-1)]/(k - 1) => y = k, k ∈ ℕ*, sendo k-1 um número primo

Para x encontramos:

x = kp = k(k-1), k ∈ ℕ*, sendo k-1 um número primo

2ª - y é múltiplo de p:

O cálculo de x e y pode ser feito de modo análogo como feito anteriormente permutando-se as variáveis. Assim encontramos que:

x = k, k ∈ ℕ*, sendo k-1 um número primo
y = k(k-1), k ∈ ℕ*, sendo k-1 um número primo

S = {(x,y) ∈ ℕ*²| (x,y) = (k²-k, k) ou (x,y) = (k, k²-k), k ∈ ℕ*, sendo k-1 um número primo}