(PUC) Números Complexos?

Dado o número complexo z = 1-i/i + i/1+i, qual é o menor valor de n E |N - {0} de modo que z^n ( z elevado a n) seja um número real?
R:4

Vamos la,

Z = 1 - i / i + i/ 1 + i

Primeiro vamos resolver isso separadamente e depois somar.

A = 1 - i / i => - i + i ² / -i² => - 1 - i

(Usamos aqui as regras de divisão, multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado do de baixo que nó caso é -i )

B= i/1 + i => i - i² / 1 - i² => 1 + i/2

(Usei aqui as regras de divisão novamente, e multipliquei pelo conjugado (1 - i )

Agora podemos fazer a conta:

Z = - 1 - i + (1 + i)/2 => (-1 - i)/ 2

Agora vamos analisar: (-1 - i)/ 2 (O argumento vale 225° ou 5"pi"/4 e seu módulo é raiz de 2 dividido por 2)

Só jogar na formula da potencialização agora.

z^N = l Z l ^n = ( Cos N.5"pi"/4 + i.Sen. N 5"pi"/4 )

Ele quer saber qual menos valor Natural para que seja número real, para isso temos que:

I. seno. N. 5"pi"/4 = 0

Quais números que tem seno igual a zero ? ( 180° (ou "pi" e o 360° ( 2"pi" )

Temos que transformar N.5"Pi"/4 em algum desses número, para isso temos que cortar o divisor. Logo N = 4

N=4
i. seno. N. 5"pi"/4
i . Sen . 4 . 5"pi"/4
i. sen. 5"pí"

"5pi" Significa que ele deu 2 voltas no círculo e parou no 180° ("pi"). A explicação não ficou muito boa, mas acho que vai te ajudar pra dar uma luz. Qualquer dúvida tu me fala que eu tento ajudar, não sou professor.

Ficou claro agora, valeu!