(FUVEST) Reta e Circunferência

por MuriloTri Ter 02 Out 2012, 15:21

A reta de equação 3x - 4y -6 = 0 intercepta a circunferência 4x² + 4y² -8x +16y - 5 = 0 nos pontos A e B. Determine o valor de tg(alfa/2), onde alfa é a medida do ângulo ACB e onde C é o centro da circunferência.

Gabarito: √21/2

por **Robson Jr.** Ter 02 Out 2012, 23:08

Comecemos encontrando a equação reduzida da circunferência.

$\small 4x^2-8x+4y^2+16y=5 \\ \Rightarrow \ 4x^2-8x+4+4y^2+16y+16=25 \\ \Rightarrow \ (2x-2)^2+(2y+4)^2=25 \\ \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=\left ( \frac{5}{2} \right )^2$

Agora, façamos uma representação razoavelmente precisa das interceptações.

(FUVEST) Reta e Circunferência Circxd

Usando a expressão para distância entre ponto e reta podemos encontrar a distância "d":

$\small d=\frac{|3.1-4.(-2)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$

Portanto:

$\small cos\left ( \frac{\alpha}{2} \right )=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}$

Mas da trigonometria:

$\small tg^2\left ( \frac{\alpha}{2} \right )+1=\frac{1}{\left ( \frac{2}{5} \right )^2} \Rightarrow tg^2\left ( \frac{\alpha}{2} \right )=\frac{21}{4}\Rightarrow {\color{Red} tg\left ( \frac{\alpha}{2} \right )=\frac{\sqrt{21}}{2}}$

por MuriloTri Ter 02 Out 2012, 23:19

Muito Obrigado, esse exercício não estava saindo de maneira alguma Razz

por mih_brufau@hotmail.com Qui 06 Out 2016, 22:53

Não compreendi a parte da distancia da circunferência à reta, pelo que eu vi da conta exposta o resultado seria 5 e não 1 como consta. Alias, a imagem da representação das intersecções não aparece :/

por Francisco W Sex 18 Ago 2017, 12:24

Distância do centro da circunferência à corda AB = módulo da equação da reta, substituindo x e y por (1;-2) dividido pela (raiz de a^2 + b^2). "decoreba"

Dica: Ao achar cos^2, descubra sen^2 pela fórmula sen^2 + cos^2 = 1. Assim, tg^2 = sen^2 / cos^2