FUVEST - Equação da reta

Esse aqui eu quebrei MUITO a cabeça, mas realmente...

(FUVEST) Sejam A(1,2) e B(3,2) dois pontos do plano cartesiano.Neste plano, o segmento AC é obtido do segmento?
...do segmento AB por uma rotação de 60º, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas de C são:

Resposta: (2; 2+ raiz3)...

Eu consegui raciocinar encima d idéia do coeficiente angular, m, sendo igual a tg 60°...consegui ver as distâncias dos pontos direitinho...mas, enfim, não consegui....porque, na minha visão, o ponto C está alinhado a C, mas pode estar em qualquer ponto...dessa mesma reta...não configurando um triângulo equilátero ou retângulo...não OBRIGATORIAMENTE formando um desses triÂngulos...em qual parte estou errado?

Obrigadoooo!! e por favor me expliquem dirietinho esse? cara, quebrei MUITO a cabeça e realmente.... ;/
Vlwwwwwww!

Marque os pontos A e B no plano.

Observe que ambos possuem a mesma ordenada.

Se a rotação é de 60° no sentido anti-horário então a reta que passa por A com m = tg 60° é:

m = \/3

y - 2 = \/3*( x - 1 )

r: y = \/3 *x - (\/3) + 2

- ponto médio do segmento AB tem abscissa x = 2

- reta que passa pelo ponto médio e intercepta a reta r :

x = 2 -> y = \/3*2 - (\/3) + 2

y = \/3 + 2

ponto C( 2, 2+\/3 )

Nossa, eu tenho mta dificuldade em geometria analítica... ;/...Eu fiz desse jeitinho...achei o coeficiente angular, tals...mas o que implica ser o ponto médio o valor de C? o.O...isso é que eu não entendi....se ele está na reta tg=60°...ele pode estar em qlq lugar dessa reta...qual a CONDIÇÃO para que ele esteja aí, no ponto médio....isso é que eu não entendi....
Eu vejo o seguinte...eu tenho um ângulo de 60° em uma parte do triângulo; porém os dois outros podem variar conforme ''eu quiser''...então um dos Ângulos pode valer x o outro y... ou @ e o outro z...entende?
Por favor, me explica =]!

Olá Mr. Satan,


Pensei de um outro modo:

- Marque os pontos dados

- o segmento AB é paralelo ao eixo x e vale 2

- trace agora uma circunferência com centro em A e raio AB = 2

- o ponto C ( rotação de B ) fica sobre a circunferência

- marque um ponto xo qualquer sobre AB e interno ao mesmo

- teremos o triângulo retângulo AxoC com o ângulo em A igual a 60°

Daí:
................xo - xA
cos 60° = ---------
...................2

..........xo - 1
1/2 = ---------
..............2

xo - 1 = 1 => xo = 2

José Carlos, agora consegui visualizar seu raciocínio, porém ainda acho que o fato da questão apenas indicar a rotação de 60° é vago, porque ela indica que apenas está na mesma reta AC...o triângulo formado poderia( e acho que é neh) equilátero...retângulo...enfim...das mais diversas possibildiades de formação de triângulos...porque ele não afirma nada da reta BC..se o ângulo formado da reta BC é agudo, obtuso...enfim...eu não to certo no meu raciocínio e na minha dúvida?
Vo tentar fazer aqui do seu jeito!
Obrigado(ps me responda meu raciocínio acima, por favorrrr ;D)

oi!!
vou mostrar como fiz!
com a rotação de 60 em torno de A a reta AC possuira coeficiente angular igual a tg60º concorda?
m=tg60º=V3
temos o ponto A(1,2) 
vamos determinar a reta pela equacao
y-y0=m(x-x0)
resolvendo os calculos 
y=V3x+2-V3
com ab so rotacionou a distancia de AB e igual a distancia de AC que é igual a 3
o ponto medio, logo, sera 1,5
pela formula do ponto medio, descobrimos Xc
vamos la: xa+xc/2=1,5
               xc=2
pronto! ja achamos o X do ponto C para achar o Y desse mesmo ponto basta substituir na equacao da reta que achamos y=V3x+2-V3
y=V3.2-V3+2
yc=V3+2

Olá luizamed,

Voicê está correta, o triângulo formado pela rotação é equilátero.

Jose Carlos escreveu:Olá luizamed,

Voicê está correta, o triângulo formado pela rotação é equilátero.

                   

mas como saber que encontrou no ponto médio?

AC = AB = 2 ---> ABC é equilátero ---> BC = 2

CM = AC.sen60º ---> CM = 2.(√3/2) ---> CM = √3