polinomios, gostaria dos calculos

por LBello Dom 30 Set 2012, 18:22

Qual é valor de m + n, para que o resto da divisão de x^3 + mx^2 + nx - 10 por x^2 - x - 2 seja igual a zero?

a) 8

b) -5

c) 4

d) -3

e) 0

Obs.: o gabarito é letra d.

por **Elcioschin** Dom 30 Set 2012, 18:40

LBello

Basta fazer a divisão de polinômios
Você obterá um resto do tipo Ax + B ----> onde A = f(m, n) e B = f(n)
Basta agora fazer B = 0 e calular n = 4 e depois fazer A = 0 e calcular m = -7

M + n = - 3

por LBello Dom 30 Set 2012, 19:14

Cheguei a resposta assim: P(x) = S(x) . Q(x) + R(x)

x^3 + mx^2 + nx - 10 = (x^2 - x -2) . x + 0

x^3 + mx^2 + nx - 10 = x^3 - x^2 - 2x

portanto, m = -1 e n = -2

m + n = -1 - 2 = -3

Está certo isso que fiz?

por **Elcioschin** Dom 30 Set 2012, 19:34

Você não fez o que sugerí: fazer a divisão dos polinômios pelo Método da Chave

Está errado o que você fez: Você não pode fazer S(x) = x

por LBello Dom 30 Set 2012, 22:43

Cheguei ao resultado, porém o meu m = 4 e o n = -7

por aprentice Seg 01 Out 2012, 00:29

Essa é uma boa questão pra se usar congruência modular, se souber.

x² - x - 2 ≡ 0 (mod x² - x - 2)
Então:
x² ≡ x + 2 (mod x² - x - 2)
x³ ≡ x² + 2x ≡ 3x + 2 (mod x² - x - 2)
Logo:
x³ + mx² + nx - 10 ≡ (3x + 2) + m(x + 2) + nx - 10 ≡ (m + n + 3)x + 2m - 8 ≡ 0x + 0 (mod x² - x - 2)

2m - 8 = 0 => m = 4
m + n + 3 = 0 => n = -7

m + n = -3