geometria analitica

os pontos a=(-4,0), b=(0,2) e c são vertices de um triangulo . A áreia do maior triângulo que se pode obter, considerando c um ponto da circunferencia de centro na origem e raio r=√5 u.c, é igual , em u.a

resposta 9

- marque os pontos A e B no plano coordenado

- equação da circunferência de centro na origem e raio igual a \/5 :

x² + y² = 5

- equação da reta (t) que passa pelos pontos A e B:

(y-0)/(2-0) = (x+4)/(0+4)

y = (1/2)x + 2 -> coeficiente angular igual a 1/2

- temos que o triângulo de maior área será o de maior altura.

- reta tangente à circunferência com coeficiente angular igual a 1/2 será da forma:

y = (1/2)x + k

substituindo y na equação da circunferência:

x² + [(1/2)x + k ]² = 5

5x² + 4kx + ( 4k²-20) = 0

condição de tangência -> ( 4k )² - 4*5*( 4k²-20) = 0

k = ± 5/2

reta tangente com maior distância de (t) -> y = (1/2)x - (5/2)

- Interseção da reta y6 = (1/2)x-(5/2) com circunferência:

x² + [(1/2)x-(5/2)]² = 5

x² + (x² - 10x + 25 )/4 = 5

5x² - 10x + 5 = 0

x² - 2x + 1 = 0 -> raízes: x = 2

para x = 2 -> y = - 3/2 -> C( 2, - 3/2 )


...................|-4......0.......1 |
Área = (1/2)*| 0.......2.......1 | = (1/2)*| -8-4-6 | = (1/2)*| - 18 | = 9
..................| 2.... -3/2......1|

Excelente solução José Carlos. Parabéns!