hiperbole com centro na origem

Uma hipérbole de excentricidade (raiz quadrada de 2) tem centro na origem e passa pelo ponto P((raiz quadrada de 5),1) ; uma reta "s" tangente à hipérbole e paralela à y=2x pode ser:
A)Y=2x+2(raiz quadrada de 3)
B)Y=2x-(raiz quadrada de 3)
C)Y=2x+3(raiz quadrada de 3
D)Y=2x+2
E)Y=2x+3

Como a hipérbole tem centro na origem e passa pelo ponto P(√5 , 1 ) , temos que : F1( - c , 0 ) F2 ( c , 0 ).

Então;

e = c/a ==> √2 = c/a ==> a = c/√2( racionalizando ) ==> a = (c√2 )/2

√[ ( x - ( - c ) )² + ( y - 0 )² ] - √[ ( x - c )² + ( y - 0 )² ] = 2a


√[( √5 + c )² + ( 1 - 0 )²] - √[( √5 - c )² + ( 1 - 0 )² ] = (2.c√2 )/2

√( 5 + 2c√5 + c² + 1 ) - √( 5 - 2c√5 + c² + 1) = c√2

√( 6 + 2c√5 + c² ) = c√2 + √( 6 - 2c√5 + c² )

Quadrando ambos os membros,temos:


[√( 6 + 2c√(5) + c² )´]² = [ c√2 + √( 6 - 2c√(5) + c² ) ]²

6 + 2c√(5) + c² = 2c² + 2c√2.√( 6 - 2c√(5) + c² ) + 6 - 2c√(5) + c²

4c√(5) - 2c² = 2c.√( 12 - 4c√(5) + 2c² ) -----> : 2

2c√(5) - c² = c.√( 12 - 4c√(5) + 2c² )

Quadrando ambos os membros,temos:

[2c√(5) - c²]² = [c.√( 12 - 4c√(5) + 2c² )]²

20c² - 4c³√(5) + c⁴ = c²( 12 - 4c√(5) + 2c²

20c² - 4c³√(5) + c⁴ = 12c² - 4c³√(5) + 2c⁴

2c⁴ - c⁴ - 20c² + 12c² = 0

c⁴ - 8c² = 0

c².( c² - 8 ) = 0

c² = 0

c = 0

ou

c² - 8 = 0

c² = 8

c = ± √8 = ± √(4 . 2)

c = ± 2√2

Logo;

F1( - 2√2 , 0 ) e F2( 2√2 , 0 )


Então;

a = c/√2 = (2√2)/√2 ===> a = 2



Portanto, o eixo real da hipérbole mede 4 unidades ( 2a = 2.2 = 4 )

Considerando um ponto genérico P( x , y ) e impondo que | PF1 - PF2 | = 4

|√[( x + 2√2)² + ( y - 0 )² ] - √[( x - 2√2)² + ( y - 0 )² ] | = 4

√( x² + 4x√(2) + 8 + y² ) = ± 4 + √( x² - 4x√(2) + 8 + y² )

Quadrando os membros,temos:

[√( x² + 4x√(2) + 8 + y² )]² = [ ± 4 + √( x² - 4x√(2) + 8 + y² )]²

x² + 4x√(2) + 8 + y² = 16 ± 8√( x² - 4x√(2) + 8 + y² ) + x² - 4x√(2) + 8 + y²

8x√(2) - 16 = ± 8√( x² - 4x√(2) + 8 + y² ) ----> : 8

x√(2) - 2 = ± √( x² - 4x√(2) + 8 + y² )

Quadrando ambos os membros,temos:

[ x√(2) - 2 ]² = [ ± √( x² - 4x√(2) + 8 + y² )]²

2x² - 4x√(2) + 4 = x² - 4x√(2) + 8 + y²

x² - y² = 8 - 4

x² - y² = 4

x²...y².....4
-- - --- = ----
4...4.......4


x²...y²
-- - ---- = 1 ( HIPÉRBOLE EQÜILÁTERA )
4....4

Trata-se de ´´ hipérbole eqüilátera ``onde os eixo real e imaginários são congruentes( = ) , ok?



Como a reta ´´s`` é paralela à reta y = 2x , então;

s: y = 2x + m


Daí ; é só motarmos o sistema:

{ x²...y²
{ -- - --- = 1-------------( I )
{ 4....4
{
{ y = 2x + m ------------( I I )


Substituindo ( I I ) em ( I ),temos:


x²...( 2x + m )²
-- - --------------- = 1
4.........4



x² - ( 4x² + 4x.m + m² ) = 4

x² - 4x² - 4xm - m² - 4 = 0

- 3x² - 4xm - m² - 4 = 0

3x² + 4xm + m² + 4 = 0
∆ = ( 4m )² - 4.3.( m² + 4 )
∆ = 16m² - 12m² - 48
∆ = 4m² - 48


Para que a reta ´´s`` seja tangente à ℋ ( hipérbole ) devemos ter ∆( discriminate ) = 0 , ok ?


4m² - 48 = 0

4m² = 48

m² = 12

m = ± √( 4. 3 )

m = ± 2√3


Logo, teremos duas retas tangente à ℋ :

s: y = 2x + 2√3

e

s: y = 2x - 2√3 ( pode ser essa também, porém não está contida em nenhuma das alternativas )




R =====> Portanto, s: y = 2x + 2√3 , ALTERNATIVA A)




fonte:

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080827144646AASxP3o