Circunferência inscrita em um triângulo

Olá pessoal!
Alguém pode me ajudar com essa questão?

AB = 8 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm são os lados de um triângulo ABC. Inscreve-se nesse triângulo uma circunferência e traça-se a tangente paralela ao lado BC, cujos pontos de interseção com os lados AB e AC são D e E. Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato da tangente DE com a circunferência inscrita no triângulo ABC.
Resp. 2/5

Obrigada!

a=7 ..... b=5 ..... c=8 -----> p=20 -----> s=10



Desculpe por usar trigonometria. Queria uma resposta puramente por geometria Euclidiana mas só consegui assim (deficiência minha).

lei dos cossenos: 8² = 7² + 5² - 2.7.5.cosC ----> cosC = 1/7



∆ADE ~ ∆ABC , portanto DE guarda uma relação proporcional com BC.
O diâmetro assinalado na figura divide esses segmentos de forma inversamente proporcional. Assim:

Medeiros,
Por favor, Qual é o nome dessa fórmula??
" alt="" />

Se não me engano, é."fórmula de Bhramagupta".
A = sqrt{s.(s-a)(s-b)(s-c)}}
mas
A = r.s
iguala os dois, divide por 's' os dois membros, passa o 's' para dentro da.raiz, e simplifica numerador com denominador do radicando; chega-se naquele valor de 'r'.

Nossa obrigada! Eu nunca tinha visto essa fórmula antes!

Olá Medeiros/ Nat <

Dá Para fazer também por potencia de ponto. Aproveitando a fig do Medeiros. Chamemos os pontos de tangencia M, N e O respectivamente sobre AB , AC E BC.
BM=BO=x AM=AN=8-x , CN=OC=5-(8-x) Então 5-(8-x)+x=7 x=5

AM=AD+DI=3 e AN=AE+EI=3 , então AE+ID=6 (I)

IE/OB=ID/OC (II) (Trapézios semelhantes)
Resolvendo I e II tem-se IE= 30/7 e ID=12/7
ID/IE=2/5
Att

Raimundo...
Gostei muito da solução por potência de ponto! Não tinha pensado nisso!
Obrigada !

Olá prezados colegas.

Nat'
1) escrevi errado o nome do homem, o correto é Brahmagupta.
2) aquela fórmula NÃO é dele. Você encontra essa fórmula no teorema de Heron.

Raimundo
Sei que deve haver uma solução que não precise apelar para a trigonometria e, menos ainda, para a geometria analítica. Infelizmente não a encontrei e fiquei animado quando vi sua resposta -- que "deu certo" --, porém não a entendi. Você poderia me esclarecer os seguintes pontos?

1) BM=AN=x
Suponho que você adotou o mesmo 'x' que indiquei na minha fig. acima. Apesar de a figura ser um esboço livre (fiz no Word) sem a precisão do Geogebra, ela é bem aparentada com as medidas reais. E não me parece, de forma alguma, que BM=AN=x. Qual a base para esta afirmação?

2) No meio dos cálculos, você chegou em x=5. O 'x' que está na figura, eu já o havia calculado como x=2 -- e disto tenho certeza. Qual 'x' é este?

Bom dia Medeiros > Já editei. Confundi AN com BO.
M é o ponto de tangencia em AB.
O é o ponto de tangencia em BC
BM=BO=x
Obs> Quando comecei a pegar nos livros, reaprendi pontência de ponto, num problema similar resolvido por você aqui no PIR.
Nat acho mais prático para não esquecer essas fórmulas adotar o seguinte:
Fórmula de Herão
S=Vp(p-a)(p-b(p-c) Onde S é a área do triângulo quando são dados os 3 lados
S=p.r àrea do círculo inscrito num triângulo , onde p é o semi perímetro e r o raio do círculo inscrito.

Se você procura r , é só igualar os dois S, que fica:

r=Vp(p-a(p-b)(p-c)/p
Exatamente com o Medeiros descreveu acima , apenas acho mais fácil para decorar.
Att

Aaah agora sim, da fórnula de Heron eu até me lembrava, mas ainda não a tinha visto em função da área... E aí quando o Medeiros falou que era do Brahmagupta, fiquei confusa...
Mas agora já está tudo claro!