Inequação

Resolva a inequação

|cosx - secx| ≤ tgx para x ∈ [0,2pi]

|cosx - secx| =< tgx ---> |cosx - 1/cosx| =< senx/cosx

|cosx - 1/cosx|² =< sen²x/cos²x

cos²x - 2*cosx*(1/cosx) + 1/cos²x - sen²x/cos²x =< 0

cos²x - 2 + 1/cos²x - sen²x/cos²x =< 0 ----> Multiplicando por cos²x:

(cos²x)² - 2*cos²x + 1 - sen²x =< 0 ---> (cos²x)² - 2*cos²x + cos²x =< 0

(cos²x)² - cos²x =< 0 ----> cos²x*(cos²x - 1) =< 0

cos²x é sempre positivo, logo, o sinal da expressaão depende apenas de (cos²x - 1):

cos²x - 1 =< 0 ----> cos²x =< 1 ----> Válido para qualquer valor de x

Restrições:

1) x <> pi/2 e x <> 3*pi/2, pois para estes ângulos a tg não é definida.

2) No 2º e 4º quadrante tgx é negativa, logo, como o 1º membro é positivo (módulo), nestes quadrantes não existe solução possível.

Assim a solução é: qualquer valor de x, tal que 0 =< x < pi/2 e pi =< x < 3*pi/2