valor mínimo

por Leandro! Sáb 08 Set 2012, 20:42

O valor mínimo relativo da função f, de variável real x, definida por $f(x)=\frac{a^{2}}{sen^{2}x}+\frac{b^{2}}{cos^{2}x}$ , onde a, b pertencem ao conjunto dos números reais e não são nulos, vale quanto?

Spoiler:

por Leandro! Dom 09 Set 2012, 08:03

por **Robson Jr.** Dom 09 Set 2012, 10:42

Derivando em relação a x:

$f'(x)=-2a^2.cossec^2(x).cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x)$

Igualando a zero, podemos tirar conclusões a respeito das abscissas dos pontos de inflexão:

$\small 0=-2a^2.cossec^2(x).cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x) \Rightarrow \ tan^2(x)=\frac{|a|}{|b|}$

Existe apenas uma relação envolvendo o quadrado da tangente ( e portanto o quadrado do seno e do cosseno). Logo o resultado serve para nossos fins, não necessitando verificar se trata-se de um ponto de mínimo ou máximo.

De posse de tan²(x), valem as relações:

$\small \\ 1+\frac{|a|}{|b|}=\frac{1}{cos^2(x)}; \ 1+\frac{|b|}{|a|}=\frac{1}{sen^2(x)}$

Substituindo na função inicial:

$\small \\ a^2\left ( 1+\frac{|b|}{|a|} \right )+b^2\left ( 1+\frac{|a|}{|b|} \right )=a^2+2|a||b|+b^2={\left {( |a|+|b| \right )^2}}$

por Leandro! Dom 09 Set 2012, 11:42

Obrigado pela resolução, muito grato!

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