valor mínimo
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valor mínimo
por Leandro! Sáb 08 Set 2012, 20:42
O valor mínimo relativo da função f, de variável real x, definida por =\frac{a^{2}}{sen^{2}x}+\frac{b^{2}}{cos^{2}x} "f(x)=\frac{a^{2}}{sen^{2}x}+\frac{b^{2}}{cos^{2}x}")
, onde a, b pertencem ao conjunto dos números reais e não são nulos, vale quanto?
- Spoiler:
- gabarito: (|a|+|b|)²
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: valor mínimo
por Robson Jr. Dom 09 Set 2012, 10:42
Derivando em relação a x:
=-2a^2.cossec^2(x).cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x) "f'(x)=-2a^2.cossec^2(x).cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x)")
Igualando a zero, podemos tirar conclusões a respeito das abscissas dos pontos de inflexão:
.cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x) \Rightarrow \ tan^2(x)=\frac{|a|}{|b|} "\small 0=-2a^2.cossec^2(x).cotan(x)+2b^2.sec^2(x).tan(x) \Rightarrow \ tan^2(x)=\frac{|a|}{|b|}")
Existe apenas uma relação envolvendo o quadrado da tangente ( e portanto o quadrado do seno e do cosseno). Logo o resultado serve para nossos fins, não necessitando verificar se trata-se de um ponto de mínimo ou máximo.
De posse de tan²(x), valem as relações:
}; \ 1+\frac{|b|}{|a|}=\frac{1}{sen^2(x)} "\small \\ 1+\frac{|a|}{|b|}=\frac{1}{cos^2(x)}; \ 1+\frac{|b|}{|a|}=\frac{1}{sen^2(x)}")
Substituindo na função inicial:
+b^2\left ( 1+\frac{|a|}{|b|} \right )=a^2+2|a||b|+b^2={\left {( |a|+|b| \right )^2}} "\small \\ a^2\left ( 1+\frac{|b|}{|a|} \right )+b^2\left ( 1+\frac{|a|}{|b|} \right )=a^2+2|a||b|+b^2={\left {( |a|+|b| \right )^2}}")
Igualando a zero, podemos tirar conclusões a respeito das abscissas dos pontos de inflexão:
Existe apenas uma relação envolvendo o quadrado da tangente ( e portanto o quadrado do seno e do cosseno). Logo o resultado serve para nossos fins, não necessitando verificar se trata-se de um ponto de mínimo ou máximo.
De posse de tan²(x), valem as relações:
Substituindo na função inicial:
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