Relação entre incógnitas

por evair Dom 26 Ago 2012, 17:53

se , a, b e c são números inteiros não nulos tais que $c^a=b^2^a$ , $3^c=3.9^a$ e a + b + c = 16, então é verdade que:

a) a < b < c
b) a< c < b
c) b < a < c
d) b< c < a
e) c < a < b

por danjr5 Dom 26 Ago 2012, 18:33

CONDIÇÃO I:

$\\ \boxed{c^a = b^{2a}} \\\\ c^a = (b^2)^a$

Como os expoentes são iguais, podemos concluir que $c = b^2$ .

CONDIÇÃO II:

$\\ \boxed{3^c = 3 \cdot 9^a} \\\\ 3^c = 3 \cdot 3^{2a} \\\\ 3^c = 3^{1 + 2a}$

Segue o mesmo raciocínio, ou seja: $c = 1 + 2a$

Igualando as condições I e II, isto é, igualando c.

$\\ b^2 = 1 + 2a \\\\ {\color{Red} a = \frac{b^2 - 1}{2}}$

CONDIÇÃO III:

$\\ \boxed{a + b + c = 16} \\\\ a + b + (2a + 1) = 16 \\\\ 3{\color{Red} a} + b = 15 \\\\ \frac{3(b^2 - 1)}{2} + b = 15 \\\\ 3b^2 - 3 + 2b = 30 \\\\ 3b^2 + 2b - 33 = 0 \\\\ \Delta = 400$

$\\ b = \frac{- 2 \pm \sqrt{400}}{6} \\\\\\ b = \frac{- 2 \pm 20}{6} \\\\\\ \boxed{\boxed{b = 3}}$

Substituindo o valor de b nas outras equações encontramos $\\ \boxed{\boxed{a = 4}}$ e $\\ \boxed{\boxed{c = 9}}$ .

Como $3 < 4 < 9$ conclui-se que:

${\color{Blue} \mathbf{\boxed{\boxed{b < a < c}}}}$

Espero ter ajudado.

Daniel F.

por evair Dom 26 Ago 2012, 18:53

muito obrigado Daniel.

Fui até o final da condição II, ai desisti - faltou habilidade numérica e confiança hahah

Valeu mesmo,
Abraços.

por danjr5 Dom 26 Ago 2012, 19:01

Prezado Evair,
não há de quê!
Gostaria de fazer um comentário, não desista, pois a habilidade numérica e a confiança (ambas citadas por você) vêm com a resolução de exercícios.

Até breve.

por **ivomilton** Dom 26 Ago 2012, 19:01

evair escreveu:se , a, b e c são números inteiros não nulos tais que $Relação entre incógnitas Gif$ , $Relação entre incógnitas Gif.latex?3^c=3$ e a + b + c = 16, então é verdade que:

a) a < b < c
b) a< c < b
c) b < a < c
d) b< c < a
e) c < a < b

Boa noite, evair.

3^c = 3.9^a = 3.(3²)^a = 3.3^2a
3^c = 3^(1+2a)

c = 1 + 2a

a + b + c = 16
a + b + 1 + 2a = 16
3a + b + 1 = 16
3a + b = 15

c = 1 + 2a
c = 1 + 2.4
c = 1 + 2.3
c = 1 + 2.2
c = 1 + 2.1

3a + b = 15
3.4 + 3 = 15
3.3 + 6 = 15
3.2 + 9 = 15
3.1 +12 = 15

Logo, poderemos obter:
a + b + c = 16
4 + 3 + 9 = 16
3 + 6 + 7 = 16
2 + 9 + 5 = 16
1 + 12 + 3 = 16

c^a = b^2a
9^4 = 3^2.4 → 9^4 = 3^8 → (3^2)^4 = 3^8 → 3^8 = 3^8 → OK
7^3 = 6^2.3 → 7^3 = 6^6 → 343 = 216 ??
5^2 = 9^2.2 → 5^2 = 9^4 → 25 = 6561 ??
3^1 = 12^2.1 → 3 = 12^2 → 3 = 144 ??

S = b < a < c

Alternativa (c)

Um abraço.