Áreas de círculo e suas partes AFA-MG

por Fernando_Vieira Sex 24 Ago 2012, 11:39

(AFA-MG) Na figura a seguir, DE, AF e GH são respectivamente os lados do hexágono regular, triângulo equilátero e quadrado, inscritos na circunferência de raio R. Calcule a área do quadrilátero mistilíneo ABCD.

Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Scaled.php?server=690&filename=desenhogeomtrico2

A) $Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Gif$

B) $Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Gif$

C) $Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Gif$

D) $Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Gif$

Gabarito:

Spoiler:

por **adriano tavares** Ter 23 Out 2012, 13:45

Olá,Fernando Vieira.

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Áreas de círculo e suas partes AFA-MG Afacm

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Primeiro vamos calcular a área amarela.

$A_{am}=A_{setor ODG}-A_{\Delta ODG}\\\\A_{am}=\frac{\pi R^2}{12}-\frac{R^2sen30^\cir}{2}\Rightarrow A_am=\frac{\pi R^2-3r^2}{12}$

A altura GS é a diferença entre o raio da circunferência e a altura do triângulo equilátero ODE.

$GS=R-\frac{R\sqrt{3}}{2} \Rightarrow GS=\frac{2R-R\sqrt{3}}{2}$

A área do triângulo DGS é dada por:

$A_{\Delta DGS}=\frac{\frac{R}{2}\left(\frac{2R-R\sqrt{3}}{2} \right )}{2}\Rightarrow A_{\Delta DGS}=\frac{2R^2-R^2\sqrt{3}}{8}$

Vamos calcular a área do triângulo PGS, notando que este triângulo é retângulo isósceles.

$A_{\Delta PGS}=\frac{\left( \frac{2R-R\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2}\Rightarrow A_{\Delta PGS}=\frac{4R^2-4R^2\sqrt{3}+3R^2}{8}$

Vamos agora calcular a área do triângulo DPG.

$A_{|Delta DPG}=A_{\Delta DGS}-A_{\Delta PGS}\\\\A_{\Delta DPG}=\frac{2R^2-R^2\sqrt{3}}{8}-\frac{4R^2-4R^2\sqrt{3}+3R^2}{8}\\\\$

$A_{\Delta DPG}=\frac{3R^2\sqrt{3}-5R^2}{8}$

Vamos somar agora a área da região amarela com a área do triângulo DPG.

$A_{am}+A_{\Delta DPG}=\frac{\pi R^2-3R^2}{12}+\frac{3R^2\sqrt{3}-5R^2}{8}\\\\A_{am}+A_{\Delta DPG}=\frac{2\pi R^2+9R^2\sqrt{3}-21R^2}{24}$

A área do quadrilátero mistilínio é dado por:

$A_{Q}=A_{setor AOG}-(A_{\Delta TOA}+A_{\Delta verm}+A_{\Delta DPG}+A_{am})\\\\ A_{Q}=\frac{\pi R^2}{6}-\left(\frac{R^2\sqrt{3}}{8}+\frac{R^2}{8}+\frac{2\pi R^2+9R^2\sqrt{3}-21R^2}{24}\right)$

$A_{Q}=\frac{\pi R^2}{6}-\frac{2\pi R^2+12R^2\sqrt{3}-18R^2}{24}\\\\A_{Q}=\frac{2\pi R^2-12R^2\sqrt{3}+18R^2}{24} \Rightarrow A_{Q}=\frac{R^2}{4}\left(\frac{\pi}{3}-2\sqrt{3}+3\right)$

Alternativa:B

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