Questão de conjuntos

O número de votos válidos em uma eleição para prefeito e vereadores de determinado município foi de 94% do total de votos (branco + nulos + válidos). Admitindo que os dois candidatos a prefeito (A e B) mais votados receberam, juntos, 70% dos votos válidos, que o número de votos recebidos por A equivale a 30% do número de votos recebidos por B, é correto afirmar:
a)O candidato B recebeu, exatamente, 60% do total de votos.
b)O Candidato A recebeu, aproximadamente, 20% dos votos válidos.
c)O candidato A recebeu, exatamente, 20% do total de votos.
RESPOSTA => d)O candidato B recebeu, aproximadamente, 53% dos votos válidos.
e)Os candidatos A e B receberam juntos, aproximadamente, 68% do total de votos.

Para obter uma resolução completa deve-se resolver de duas maneiras: utilizar o Diagrama de Venn (desconsiderando-se a intersecção, já que A e B não podem ter simultaneamente um mesmo voto) considerando-se como conjunto universo apenas os votos válidos (I) e utilizar esse mesmo diagrama (desconsiderando novamente a intersecção, pelo mesmo motivo anterior) tendo como conjunto universo o total de votos (II). Vale lembrar que utilizar-se do Diagrama de Venn nesse caso é apenas um processo simbólico, visto que tratam-se apenas de dois conjuntos e ainda desconsidera-se a intersecção entre eles.
I. Denominando por A o conjunto dos votos obtidos pelo candidato A, e por B o conjunto dos votos obtidos pelo candidato B.
Denomina-se X a quantidade de votos obtidos por B.
Assim, os votos de A serão: A=30% de B=30% de X=0,3X
Como foi afirmado que a soma dos votos obtidos por A e B equivale a 70% dos votos válidos, tem-se que:
A+B=70%V, onde V representa o número de votos válidos
0,3X+X=0,7V
1,3X=0,7V
X~=53,8%V
Assim, B obteve cerca de 53,8% dos votos válidos, enquanto A obteve cerca de(70%-B=70%-53,8%=)16,2% dos votos válidos.
Observe que o item D já é validado como resposta, mas para uma maior segurança, realizemos a resolução pelo modo II.
II. Obteve-se em I que
1,3X=0,7V
No entanto, tem-se que do total T de votos, apenas 94% são válidos (V).
Sendo assim:
1,3X=0,7(94% de T)=0,7(0,94T)
1,3X=0,658T (65,8% de T → A e B receberam juntos 65,8% do total de votos)
X~=50,6%T
Assim, B obteve cerca de 50,6% do total de votos e A obteve cerca de (65,8%-B=65,8%-50,6%=)15,2% do total de votos.
Validando totalmente o item D.
Espero ter ajudado.
Abraço.

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