Tangente à parábola

Determinar para a parábola e ponto de contato dados, as equações da tangente e da normal.

y² + 4x + 2y + 9 = 0, ponto ( - 6, 3 ).

R: x + 2y = 0 e 2x - y + 15 = 0

Olá Iago6,

Agradeço sua solução e embora ela pareça simples, torna-se complicada para mim pois estudei derivadas ( suponho ) faz mais de 40 anos. Sinto abusar de seu tempo e paciência e pedir uma outra forma de solução. Aproveitarei ambas.

Obrigado.

José Carlos

Vou fazer com derivada, porém mais simples

y² + 4x + 2y + 9 = 0 ----> x = (-1/4)*(y² + 2y + 9) ---->

Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo X e concavidade voltada para a esquerda.
Só como curiosidade o vértice é V(-2, -1):

x' = (-1/4)*2y + 2) -----> x' = (-1/2)*(y + 1)

No ponto dado P(-6, 3) ----> x' = (-1/2)*(3 + 1) ----> x' = - 2

Como os eixos estão invertidos, o valor do coeficiente angular da reta tangente vale m = -1/2

Equação da reta tangente: y - 3 = (-1/2)*(x + 6) ----> x + 2y = 0

Equação da reta normal: y - 3 = 2*(x + 6) ----> 2x - y + 15 = 0

Desculpa, Jose Carlos.

Mas sem ser por derivadas eu não sei como fazer, ficarei atento no tópico caso alguém saiba.

Um abraço

Agradeço aos amigos Iago6 e Elcioschin pelas soluções apresentadas.

Abração para vocês.

Olá José Carlos:
Pode-se resolver sem derivar, mas é muito complicado.
Podemos notar que a equação de uma reta que passa em (-6,3) é da forma
y-3=m(x+6)↔ y=mx+6m+3. Podiamos substituir na equação da parábola o y por esta expressão, mas dada a equação é mais fácil substituir x por (y-6m-3)/m.
Vem então: y^2+(4y-24m-12)/m+2y+9=0 ↔ my^2+(4+2m)y-15m-12=0.
Para a reta ser tangente à parábola, só podemos ter uma solução para y, pelo que o valor de ∆ =b^2-4ac terá de ser 0. Vem que (4+2m)^2-4m(-5m-12)=0↔ 4m^2+4m+1=0
↔ (2m+1)^2=0↔ m=-1/2. Então a equação da tangente é: y=(-1/2)x+6(-1/2)+3↔
y=-(1/2)x↔ x+2y=0. A partir do declive desta detrmina-se facilmente a normal.
Como disse, este processo é MUITO mais complicado...

Um abraço.

Valeu parofi, mais uma maneira de solucionar a questão, a dica da substituição do "x" e não do "y" foi legal.

Um abraço.