OBF 2012 - 2ª Fase - Nível II

por joaofariaif Dom 12 Ago 2012, 23:31

Questão 10 - Duas massas M e m estão conectadas por uma mola de constante elástica k e sobre uma superfície horizontal sem atrito (veja figura abaixo).

Um pequeno impulso P na massa M, com a outra em repouso, faz com que o sistema comece a oscilar. Faça um esboço dos gráficos das velocidades das massas M e m como função do tempo t para as seguintes situações:

a) M = m
b) M = 2m

por **VictorCoe** Ter 13 Nov 2012, 12:58

a)Como a massa M recebe um pequeno impulso P, temos que:
$\overrightarrow{I}=\overrightarrow{\Delta Q_b}$

$P=Mv_b\therefore \boxed{v_b=\frac{P}{M}}$

Por quantidade de movimento, das duas massas, temos:
$|\overrightarrow{Q_a_f}|=|\overrightarrow{Q_b_f}|$
$mv_a=Mv_b$ $mv_a=Mv_b$
$v_a=\frac{Mv_b}{m}$
Como M=m $v_a=v_b$

Conservando a energia, temos:
$\frac{kx^2}{2}=\frac{mv_a^2}{2}+\frac{mv_b^2}{2}$
$v_a^2 + v_b^2=\frac{kx^2}{m}$
Como va=vb=P/m, temos:
$2\frac{P^2}{m^2}=\frac{kx^2}{m}$
$\boxed{\frac{2P^2}{mx^2}=k}$

Como temos um período de oscilação da mola:
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{2P^2}{mx^2}}}$
$T=2\pi\sqrt{\frac{m^2x^2}{2P^2}}$

$\boxed{T=2\pi \frac{mx}{P}\sqrt{\frac{1}{2}}}$

Achando as relações necessárias, esboce o gráfico.

Na questão b, seria a mesma coisa, só que com M=2m
$v_a=2v_b$
$kx^2=mv_a^2+2mv_b^2$
$kx^2=4mv_b^2+2mv_b^2$
$v_b=\sqrt{\frac{kx^2}{6m}}$

$v_a=2{\sqrt{\frac{kx^2}{6m}}}=\sqrt{\frac{2kx^2}{3m}}$

por **VictorCoe** Ter 13 Nov 2012, 23:57

Item a) como va=vb, os dois gráficos serão os mesmos.
Item b) 1)Para va e ta, temos:
$v_a=\frac{P}{m}$

$\boxed{T_a=\frac{2\pi mx}{P}\sqrt{\frac{2}{3}}}$
$S_1=2\pi x\sqrt{\frac{2}{3}}$

E para b, temos:
$v_b=\frac{P}{2m}$

$T_b=\frac{4\pi mx}{P}\sqrt{3}$

$S_2=2\pi x\sqrt{3}$

Seus gráficos serão, respectivamente, muito parecidos:

OBF 2012 - 2ª Fase - Nível II Gif&s=27&w=433&h=188&cdf=RangeControl