As somas dos n primeiros termos

por Nat' Ter 07 Ago 2012, 11:56

Boa tarde pessoal!
Alguém pode me ajudar com essa?

As somas dos n primeiros termos de duas progressões aritméticas estão na razão 7n + 1 /(4n + 27). Determine a razão entre seus sétimos termos.

Resp: 92/79

Obrigada!

por **Robson Jr.** Ter 07 Ago 2012, 13:44

Sejam as sequências:

$\small \\ \text{PA}_1: \ (a_1 \ a_2 \ a_3 \ ... \ a_n) \\ \text{PA}_2: \ (b_1 \ b_2 \ b_3 \ ... \ b_n)$

A soma dos termos em cada uma vale:

$\small \\ \text{S}_1=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2} \\\\ \text{S}_2=\frac{(b_1+b_n)n}{2}=\frac{(2b_1+(n-1)r')n}{2}$

E a razão entre esses termos é:

$\small \frac{\text{S}_1}{\text{S}_2}=\frac{2a_1-r+rn}{2b_1-r'+r'n}=\frac{1+7n}{27+4n}$

Observe que o único termo dependente de n é a razão, o que permite fazer as igualdades:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} r=7\\ r'=4 \end{matrix}\right.$

De modo análogo, podemos igualar os termos independentes de n:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} 2a_1-r=1\\ 2b_1-r'=27 \end{matrix}\right. \Rightarrow a_1=4 \text{ e }b_1=\frac{31}{2}$

Com a razão e o primeiro termo de cada PA em mãos, é fácil calcular o pedido.

$\small \frac{a_7}{b_7}=\frac{a_1+6r}{b_1+6r'}=\frac{4+7.6}{\frac{31}{2}+4.6}={\color{Red} \frac{92}{79}}$

por Nat' Ter 07 Ago 2012, 14:18

Eu não tinha sacado que "o único termo dependente de n é a razão, o que permite fazer as igualdades"... Obrigada Robson! ^^

por Handalas Seg 01 maio 2017, 16:33

Não se pode fazer igualdades, apenas proporções com as relações dos polinômios. No entanto, o resultado não muda no final. Numa prova aberta pode-se perder pontos por isso.

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