Permutação e Combinação

Saudações a todos!

Bem... até hj eu ainda não compreendi o que significa esses conceitos, pois eu até entendo, mas não sei explicar pra mim mesmo ou fazer a aplicação deles.
vendo um livro chamado "projetista", mutíssimo conhecido pelos tec. e engº mecânicos, é dada a seguinte definição:


São definições sucintas, simples... era isso que eu queria... pq eu acho a análise da análise combinatória demasiada longa, por isso, não consigo simplificar pra fazer a síntese... é como se estivesse estudando a resolução da eq do 2º grau s/ saber q ela vem da ideia simples e prática de completar quadrados, acho...

refletindo um pouco sobre essa definição, notei que as combinações dos grupos podem ter natureza e ordem iguais ou diferentes, então, tentei definir o que seria um grupo igual ou diferente de outro grupo por meio do critério ordem e natureza.
• 2 elementos: o número 2 e o número 3.
• tomados: 2 a 2.
• portanto:
natuteza | ordem | grupos
= | = | (22 e 22) (23 e 23) (32 e 32) (33 e 33)
= | ≠ | (23 e 32) (32 e 23)
≠ | = | (não sei)
≠ | ≠ | (22 e 33)
ou seja:
na 1ª linha, os grupos tem natureza e ordem iguais, não sei como isso poderia ser chamado...
na 2ª linha, os grupos tem natureza = e ordem ≠, isso é chamado de permutação...
na 3ª linha, os grupos tem natureza ≠ e ordem =, isso é chamado de combinação...
na 4ª linha, os grupos tem natureza ≠ e ordem ≠, isso é chamado de disposição...

bem... se eu não soube agrupar pelo cirtério combinação.. acho que o resto também está errado...

gostaria de um exemplo do tipo...
considerando os itens abaixo, agrupar os elementos pelo critério: (1) natureza ≠ e ordem ≠ (disposição); (2) natureza ≠ e ordem = (combinação); (3) natureza = e ordem ≠ (permutação); (4) natureza = e ordem = (...).
• 4 elementos: A; B; C; D.
• tomados: 2 a 2.

espero que eu ñ pedi e que eu ñ compliquei demais... eu realmente estou recorrendo ao fórum pq ñ consegui entender!

ps: minha calculadora científica só possui comandos fatorial, combinatória e permutação, e o livro qual eu usei no tópico também trata desses tres conceitos, minha pergunta portanto é: compreendendo esses três conceitos, resolvo qualquer exercício de análise combinatória?

Obg,

José

Jhenrique escreveu:Saudações a todos!

Bem... até hj eu ainda não compreendi o que significa esses conceitos

O pessoal da Matemática gosta de complicar mesmo. Que nem os Físicos, os Químicos e qualquer outra panela.

Rende livros, aulas, palestras, cursos relâmpagos e sobrevivência, além de um certo ar de sapiência...

Os métodos de contagem são simples.

Até bactéria sabe contar.

A primeira idéia são os dedos. Não tenha vergonha de usá-los.

É o que se chama de soma.

A segunda idéia é a de multiplicação:

Você tem uma caixa de cerveja com 4 fileiras e 6 colunas, ou 4 colunas e 6 fileiras ( depende de quantas você já bebeu...)



Você pode perder tempo usando a soma (os dedos) enquanto seu parceiro de
copo vai bebendo tudo, ou então usar o que os matemáticos chamam de
"Princípio Universal de Contagem" (chique, né ???)

6.4 = 4.6 = 24

Até aí tudo bem, até papagaio sabe fazer essas contas.

Mas o tempo é cruel !

Precisamos, querendo ou não, ganhar tempo ! (?!?)

Aí aparece o que se chama de "Técnicas de Contagem", que no Ensino Médio
teimam de chamar de "Análise Combinatória", talvez por ser um nome mais
assombroso.

Só pra ganhar tempo...

Você acaba de fundar um clube.

Vai precisar fazer uma eleição.

Tem, além de você, mais 4 amigos para a chapa de presidente e vice.

Total de 5 pessoas.

Quantas chapas podem ser formadas ?

Você pode agir que nem bactéria e usar os dedos ( bactéria tem dedos ???):

A, B, C, D , E são as pessoas.

AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
...

EA

Ufa !!!

Se fizesse, sem errar, iria encontrar 20 chapas.

Como a cada 10 coisas que fazemos, erramos uma, ia ter que repetir, reler, conferir...

Ou podia usar o tal "Princípio Universal de Contagem" ... Que eu chamo de "Método Beer" ou dos "Tracinhos":

A chapa é feita com duas pessoas.

Coloco 2 tracinhos:

_ _

Para presidente, o primeiro tracinho, posso escolher qualquer uma das 5 pessoas.

5 _

Depois de escolher qualquer uma das 5 pessoas, sobram 4 para escolher:

5 4

Se pra cada uma das 5 posso agrupar com 4 outras...

Pelo "Princípio Beer":

5.4 = 20

Prontinho !

Repare que a chapa AB é diferente da chapa BA, já que convencionamos que o primeiro é o presidente e o 2º o vice...

Se você, em vez de eleger presidente e vice, fizesse que nem o Brasil
faz, compondo uma chapa com 5 cargos: Presidente, Vice, 1º Secretário,
Tesoureiro, Assessor, 2º Secretário.

Aí voce teria:

ABCDE
ABCED
...
EDCAB

Se não errasse no "método bactéria" teria 120 chapas possíveis.

Como você vai errrar e as eleições estão próximas, você vai usar o "Método Beer":

5 4 3 2 1

5.4.3.2.1 = 120

Rapidim...

Repare, de novo, que a chapa ABCDE se distingüe da EDCBA, já que a ordem convencionada, da esquerda pra direita, é :

Presidente, Vice, 1º Secretário, Tesoureiro, Assessor, 2º Secretário...

O clube foi fundado, você foi eleito presidente e tudo bem !

Agora, como primeiro evento, você propôs um campeonato de Ping-Pong !!!

Como só existem 5 associados (os eleitos...), quantas duplas você poderá formar ?

Opa !

Fácil, fácil !

5.4 = 20 !!!

Mas aí, seu Assessor dá um toque:

"Ué ???!!!, pra mim só tem 10 duplas !!!"

Você pensa um pouquinho, mesmo com dor no gurgumilo, mas dá razão para o seu Assessor !

5.4 = 20

E teria as duplas, por exemplo:

AB e BA

Que, para o assunto em pauta — "Duplas de Ping-Pong" — é a mesma coisa !

Você, diferentemente da bactéria, pensa:

Opa ! Estou contando em dobro !

Aí faz a seguinte conta, que até bactéria sabe fazer:

5.4/2 = 10

E palmas pro seu assessor !

Passados 8 meses, uma nova sócia aparece !

Agora são 6 !

Você, em homenagem à nova associada, promove um campeonato de trios de Vôlei de Praia !!!

Quantas trincas serão ?

6 5 4

6.5.4 = 120

Mas, graças ao seu assessor, você se lembra de que as trincas ABC,BCA,CBA, ... são as mesmas !

Como você não é bactéria, em vez de contar com os dedos, dessa vez usa o separador de orelhas e pensa:

Cada trinca tem:

3.2.1 = 6 permutações

Que estou contando a mais !

Aí, banca o esperto e faz a conta final, para o espanto dos associados:

6.5.4/(3.2.1) = 20

E todos batem palmas e você, mesmo fora de época, é reeleito!

Dessa bobagem toda, a moral:

Os grupos que se diferenciam pela ordem são batizados de ARRANJOS:

(a; b; c) ≠ (b; c; a) ... --> Arranjos

Os que não se diferenciam são apelidadaos de COMBINAÇÃO:

(a; b; c) ≡ (b; c; a) ... --> Combinação

Aí entram as fórmulas pra complicar ou metodificar... Só depende de você compreendê-las ou não...

Dado um Universo: U = { a; b; c; d; e }

Quantas trincas posso fazer, onde a ordem as diferenciam ?

Pro matemático a pergunta é:

"Qual o número de arranjos posso ter se num universo de 5 elementos se quiser pegá-los de 3 em 3 ?"

Eles simbolizam assim:

Você já sabe como "fazer as contas...

= 5.4.3 = 60

Mas se fossem as tais trincas de Vôlei ?

A ordem não as diferenciam, né ?

Então,pros matemáticos é, resumidamente (eles precisam ganhar tempo !):

"Qual o número de combinações de 5 troços, tomados 3 a 3 ?"

E simbolizam assim:

Você também já sabe essa:

= 5.4.3/(3.2.1) = 10

Você primeiro "contou" como arranjos, depois dividiu pelas permutações contadas a mais...

Até agora não repetimos os elementos do conjunto de partida, nosso "Universo".

Vamos lá !

Suponha que você quer, para comemorar suas habilidades contábeis, fazer uma rifa e gerar bilhetes com 3 algarismos.

Por exemplo: 123, 001, 999, 987, 023, ...

Aí você relembra o método Beer...
_ _ _

Três traços pros três dígitos.

Posso escolher para o prinmeiro traço qualquer um dos 10 dígitois decimais (0, 1, 2, ... 9)

10 _ _

Depois de escolhido qualquer um dos 10 dígitos, posso ainda escolher qualquer um dos outros 10...

10 10 _

Idem, idem, idem:

10 10 10 = 10.10.10 = 1 000 bilhetes.

Isso os matemáticos chamam de número de arranjos com repetição, simbolizando assim:

E calculando assim:

= 10³ = 1 000

Pensando em simplificar e metodificar eles batizam algo que ocorre muito, tipo:

5.4.3.2.1 ou 1.2.3.4.5

A isso chamam de fatorial de 5 e simbolizam assim: 5!

Legal, né, menos coisa pra escrever. Bom.

Até aí tudo bem, mas....

Como eles gostam de complicar, definem o que é uma coisa simples de uma maneira cavernosa:

Fatorial de n:= n! = 1.2.3.....n

Número de Arranjos de n coisas tomadas p a p :=

Número de Arranjos de n coisas tomadas n a n := Permutação de n :=


Número de Arranjos Com Repetição de n coisas tomadas p a p :=

Número de Permutações de n elementos com a, b, ..., z repetições:

Número de Combinações de n, p a p :=


Número de Combinações com Repetição de n, p a p :=

Agora é se exercitar !

rihan escreveu:

Jhenrique escreveu:Saudações a todos!

Bem... até hj eu ainda não compreendi o que significa esses conceitos

O pessoal da Matemática gosta de complicar mesmo. Que nem os Físicos, os Químicos e qualquer outra panela.

Rende livros, aulas, palestras, cursos relâmpagos e sobrevivência, além de um certo ar de sapiência...

Poizé, ciencias exatas hj no brasil tá xxxx! A SBM até publicaa um livro, já de várias edições, com picuinhas e erros descarados dos atuais "materiais didáticos"...

rihan escreveu:
Como a cada 10 coisas que fazemos, erramos uma, ia ter que repetir, reler, conferir...

Óoohhh... isso é uma pesquisa científica?


depois de muito pesquisar e comparar o assunto, entendi que combinar é unir elementos e que permutar é alterar a ordem dos elementos desta união... é isto que a definição que eu postei acima faz, primeiro, ela faz a combinação de 5 elementos (a b c d e) e depois ela pega uma dessas combinações (abc) e aplica a permutação nela...
para saber o valor do arranjo, ou disposição, sei lá, basta multiplicar a permutação de cada combinação! Certo?

rihan escreveu:
Número de Arranjos de n coisas tomadas p a p :=

Número de Arranjos de n coisas tomadas n a n := Permutação de n :=


Número de Arranjos Com Repetição de n coisas tomadas p a p :=

Número de Permutações de n elementos com a, b, ..., z repetições:

Número de Combinações de n, p a p :=


Número de Combinações com Repetição de n, p a p :=

peraí,
agora vc definiu arranjo simples e com repetição; permutação simples e
com repetição; combinação simples e com repetição....

Arranjo não é um conceito derivado de permutação e combinação, como no meu raciocínio acima? Se é, tudo bem, mas se não é, então porque a calculadora científica da casio, fx-82MS, só tem combinação e permutação, excluindo arranjo?
E o que seria o conceito VERBAL de "com repetição"?

O problema maior de todos é não ler e reler e re-reler o que é escrito (ou mal-escrito) pelos outros.

As afirmações verdadeiras não dependem do autor das mesmas, depende da capacidade dos que as lêem de validá-las.

As Ciências Exatas exatamente estão como sempre estiveram.

A "lei da média" é impiedosa.

Toda coletividade é burra, medíocre, mediana, desde "Adão e Eva"...

"...nessa multidão, boiada caminhando a esmo..."¹

O que impulsiona o nível de compreensão e conhecimento são os poucos que lêem, relêem e re-relêem.

"...como rês desgarrada..."¹

Assim foi, assim é e assim será.

Ainda mais que, no meio dessa imperfeição toda, entra o condimento cruel e ambíguo da vaidade, que, às vezes auxilia, às vezes atrapalha.

Equilibrar as sensações de desconforto pela incompreensão, ímpeto do conhecimento e vaidade das vaidades é algo complexo e delicado.

Como a vida o é.

É necessário observação. Tempo. Autocrítica. Críticas.

É necessário ler. Pensar. Reler. Re-reler.

As definições são complexas assim mesmo.

Não o são pelo motivo do objeto que elas definem ser complexo.

Assim o são pelas imperfeições inerentes das linguagens.

Assim o são pelas vaidades inerentes ao ser.

Se se for definir um FILME, as definições feitas por cineastas, cinéfilos e cineólogos, certamente, vão se diferenciar. Tanto entre as categorias, como nas categorias...

E você, naturalmente e preferencialmente, vai usar aquela que se encaixa mais na sua categoria.

Dito isto, vamos aos seu comentários:


"[Poizé, ciencias exatas hj no brasil tá xxxx! A SBM até publicaa um
livro, já de várias edições, com picuinhas e erros descarados dos atuais
"materiais didáticos"...]" ---> Normal


"[Óoohhh... isso é uma pesquisa científica?]" --> Sim. Basta ler o seu texto ou o meu para verificá-la. Tem uns que chamam isso de "Estatística", outros de "Lei de Murphy". Independente do batismo, o santo existe.


"[entendi que combinar é unir elementos e que permutar é alterar a ordem dos elementos desta união...]" --> Dessa forma você vai ter que explicar ou definir o que é "união" ou "unir"...

Alguns preferem o verbo. Outros os substantivos.

"Combinar" ou "Combinação". É gosto do freguês. Não se discute.

Você pode pensar na ação ou no resultado da ação. Tanto faz.

O que importa realmente é você compreender o fato da sua maneira e da maneira que outros descrevem o mesmo fato.

Quando conseguir isto estará mais apto ao diálogo.

Na língua inglesa somente existem os termos "combination" e "permutation".

Os línguas latinas e seus povos gostam de complicar mais, de definir mais precisamente e diferenciam "arranjo" de "permutação". Se você reler o meu texto, vai notar como foi definido "permutação", de passagem, bem rapidamente, sem importância.

Note que "permutar" ou "permutação", em qualquer língua, não precisa de ser definida, redefinida ou restringida, o seu significado linguístico e matemático são os mesmos.

Já "combinar" e"arranjar", bem como seus substantivos, necessitam de redifinições e limitações para o contexto matemático em que vão ser usados.


"[peraí,
agora vc definiu arranjo simples e com repetição; permutação simples e
com repetição; combinação simples e com repetição....]" --> Eu não ! Os matemáticos definem assim !

Note lá no meu texto:

"[Como eles gostam de complicar, definem o que é uma coisa simples de uma maneira cavernosa:...]"


"[Arranjo não é um conceito derivado de permutação e combinação, como no
meu raciocínio acima? Se é, tudo bem, mas se não é, então porque a
calculadora científica da casio, fx-82MS, só tem combinação e
permutação, excluindo arranjo? ]" --> Máquina pra "inglês ver"...

Como você mesmo descobriu, para se ter o número de arranjos, basta se multiplicar o número de combinações pelas permutações.

Relembrando meu comentário, os anglófonos não tem o termo matemático "arranjo".


"[E o que seria o conceito VERBAL de "com repetição"?]" -->Depende do ponto de vista: Verbo ou Substantivo.

Se olharmos com o enfoque do resultado (substantivo), os grupos formados contêm elementos repetidos.

Se, encaramos como ação (verbo), podemos ser mais detalhados e falar em "com reposição" ou "podendo pegar quantas vezes quiser".

Exemplificando:

EX.1) Experimento: Jogar um dado 3 vezes.

Universo Dado = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Universo Resultado; E = { (1;1;1), (1;1;2), ..., (6;6;5), (6;6;6) }

Posso pensar em 2 formas (ação versus resultado):

(i) "Posso pegar o dado de novo e o rearremessar"

(ii) "Os resultados podem ter valores repetidos"

Se é combinação ou arranjo, vai depender da questão... Mas está claro que há reposição ou os resultados podem ter elementos repetidos.

EX.2) Arremessar 3 dados ideais idênticos e honestos ao mesmo tempo.

Para essa experiência está implícito que:

A ordem dos dados (e do resultado) de cada laçamento não importa.

Não há como se diferenciar os dados...

Mas, ao pensarmos nos resultados, claramente haverá repetições.


EX. 3) De um grupo de 100 pessoas, numeradas de 1 a 100, escolher 3, aleatoriamente, através do sorteio de seus números contidos numa urna, havendo reposição dos números sorteados.

O experimento está bem descrito e explicitamente já nos diz que há reposição, logo, os resultados possíveis podem conter elementos repetidos.

Os estatísticos chamam este experimento de "independente", querendo significar que cada sorteio independe do anterior, já que há a reposição de cada elemento sorteado.

Também dizem que são experimentos "não exaustivos" , pois, obviamente, não é possível exaurir o Universo por causa da reposição.

Cada patota complica ao seu bel-prazer...


Saudações definidas !



¹ Gilberto Gil, em "Lamento Sertanejo", em parceria com Dominguinhos.

fazendo uma analogia com os combos de driver de CD, DVD e Blue-Ray, também podemos aplicar os conceitos analisados neste tópico
então...
quantos combos desses três drivers são possíveis tomados 2 a 2.
3 combos.
pegando um desses três combos e permutando ele, o número de permutações é igual a 2.
somando a quantidade permutação de cada combo, teremos que o arranjo é igual a 6.

neste contexto, o que seria combinação com repetição, permutação com repetição e arranjo com repetição?

ps.: pra mim é mais fácil assimilar os significados nesse contexto de combos, drivers, baias...

Relembrando o que foi dito:

Permutação de n é a mesma coisa que "Arranjo de n, n a n". É um "rearranjo".

Não para contrariar, mas para ficar mais correto, simples, econômico e didático:

Seja nosso "Universo de Escolha" o Conjunto de 3 opcionais que posso colocar num computador :

Traduzindo matematicamente:

U = {B; C; D}

n(U) = 3

Com a restrição de que só podemos escolher 2 dos 3.

Vamos rascunhar as "saídas", os grupos de pares ordenados possíveis de serem feitos.

Os matemáticos chamam isso de "Produto Cartesiano de Conjuntos":

U x U = S = { (B;B), (C;C), (D;D), (B;C), (C;B), (B;D), (D;B), (C;D), (D;C) }

n(S) = n(U) . n(U) = 3 . 3 = 9

Para se saber esse resultado sem fazer os grupos e aí contar, usamos os métodos da Combinatória (ou Técnicas de Contagem, como quiser):

Se esses pares são possíveis, verificamos que:

Há repetição !

Se, por algum motivo a ordem no par os diferenciar, cada par é chamado de "arranjo".

Se assim o for, metodicamente usamos a fórmula para "Número de Arranjos com Repetição":

AR(3; 2) = 3² = 9

Se, por contingências do problema ou experimento, não houver diferença entre um par (X;Y) e um par (Y;X), então esse par ganha o nome de "combinação".

Se assim for, metodicamente usamos a fórmula para "Número de Combinações com Repetição":

CR(3;2) = C(3+2-1; 2) = C(4; 2) = 4.3/2 = 6


Se não pudermos repetir qualquer elemento no par ( ou "apanhá-lo novamente" ou "o repor"), deixamos de ter repetições.

Se a ordem os diferenciar, cada grupo será um Arranjo (Simples ou Sem Repetição ou simplesmente Arranjo).

E o número de arranjos será calculado por:

A(3; 2) = 3.2 = 6

Caso contrário, cada grupo será uma Combinação (Simples, etc.)

E o número de combinações será calculado por:

C(3;2) = 3.2/2 = 3


É com eu esino e faço para os outros.

(Para mim mesmo, só faço a conta correta, não escrevo as simbologias.)

HÁAA!!!

Agora eu entendi!

um combo de drivers com repetição, por exemplo, seria um combo de CD-CD ou DVD-DVD ou BRay-BRray...

se o combo fosse tomado 3 a 3 com repetição, como por ex, {B,B,C}, a permutação com repetição desse combo seria igual a três: BBC, BCB, CBB.

agora sim acho q posso ter um raciocínio decente sobre o assunto.

obg,

José