Noções de derivada envolvendo Física mecânica.

por Geuh Dom 05 Ago 2012, 00:38

Do topo de um prédio uma bola é lançada para cima e sua distância ( em metros) ao chão é dada pela função S(t )= 20 + 24t - 4t² (t é dado em segundos).
Determine (desprezando a resistência do ar):
a) a altura do prédio. -> 20m
b) a velocidade inicial da bola; -> 24m/s
c) o número de segundos que ela leva para atingir o ponto mais alto; -> 3s
d) a altura máxima atingida pela bola; ->56m
e) a velocidade quando ela chega ao chão. -> ?
derivei a equação do espaço, encontrando a da velocidade e a aceleração:
v(t) = 24 - 8t
a = -8 m/s²
a) s(0) = 20m
b) v(0) = 24 m/s
c) 24 - 8t = 0
t = 3s
d) s(3) = 20 + 72 - 36 = 56m
e) não consegui, o gabarito diz 30m/s

por **ramonss** Dom 05 Ago 2012, 00:51

Pelo que eu entendi, você quer apenas a letra E?
A aceleraçao na gravidade do local é -8 pelo fato de 4x2 = 8

Para essa, basta usar Torricelli:
vf = vel. final
vo = vel. inicial
a = aceleracao
S = distancia
vf² = vo² + 2.a.S
vf² = 0² + 2.8.56
note que estou calculando a velocidade final a partir do instante em que ela chega na altura maxima e deve descer, portanto percorrerá S = 56 e começa com vo = 0
vf² = 896
vf = V886 = aproximadamente 30m/s

por Geuh Dom 05 Ago 2012, 02:06

Entendo, achava que após chegar a altura máxima, a bola ficava apenas submetida à ação da aceleração da gravidade... logo as equações mudariam
obrigado amigo!

por **Iago6** Dom 05 Ago 2012, 03:42

$\boxed {S(t )= 20 + 24t - 4t^2 }\\\\ \textup{A velocidade é dada pela derivada primeira da função S(t):} \\\\ S'(t)=\frac{d}{dt}(20 + 24t - 4t^2)= 24 -8t =v(t) \\\ \textup{Igualando v(t)=0, encontra-se o tempo: 0=24-8t} \rightarrow \; t= 3 s\\\\ \textup{A aceleração é a derivada segunda da função S(t):} \\\ v'(t)=\frac{d}{dt}24 -8t= - 8 \textup{ m/s}^2= a$

a) À altura do prédio não varia, logo:

$S(t )= 20 + 24t - 4t^2 \\\\ S(0)= 20 + 24*(0) - 4(0)^2 = 20\textup{ m}$

b) A velocidade incial será:

$v(t)= 24 - 8t \\\\ v(0) = 24 - 8*(0)= \textup{24 m/s}$

c) t= 3 s

d) Altura máxima
$S(t )= 20 + 24t - 4t^2 \\\\ S(3)= 20 + 24*(3) - 4(3)^2 = 56\textup{ m}$

e) A posição da acelareação horizontal e vertical variam, logo:

$v(t) = 24 - at \\ v(3) = 24i - (8i-10j)*(3)\\\ v(3)= 24i - 24i + 30j \\\ v(3)= 30j \\\\ v=\sqrt{v_x^2 + v_y^2}= \sqrt{30^2}=\textup{ 30 m/s}$

espero que seja isso, abraços Very Happy