Número de Faces em um Poliedro Convexo

(Cesgranrio-RJ) A soma dos ângulos retos de todas as faces de um poliedro convexo é 32. Esse poliedro só tem faces triangulares e pentagonais. Sabendo que o número de arestas é 20, calcule o número de faces de cada tipo.

Resp.: 10 Triangulares e 2 Pentagonais.

Comecemos usando relações conhecidas para tirar algumas conclusões.

3.F3 + 5.F5 = 2.A
3.F3 + 5.F5 = 40

F3 e F5 precisam ser inteiros positivos. Além disso, F3 precisa ser múltiplo de 5. (*)
Por inspeção, são soluções possíveis:

F3 = 5 e F5 = 5 ------------> (Caso 1)
F3 = 10 e F5 = 2; ----------> (Caso 2)

Olhemos, agora, para os ângulos retos...

a) Um triângulo pode ter no máximo 1 ângulo reto (**);
b) Um pentágono pode ter no máximo 4 ângulos retos (***).

No caso 1, conseguiríamos ter 32 ângulos retos? Teríamos, no máximo, 5 ângulos retos oriundos de faces triangulares e, no máximo, 20 ângulos retos das faces pentagonais. Isso daria 25, uma quantidade insucifiente.

E no caso 2? Teríamos, no máximo, 30 ângulos retos vindos de faces triângulares e, no máximo, 8 de faces pentagonais. Isso dá um total de 38, isto é, temos "espaço" o suficiente para que o enunciado seja cumprido.

O caso 2 é o único possível, então o poliedro possui 10 faces triangulares e 2 pentagonais.

Boa questão!
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Explicações adicionais:

(*) 3.F3 + 5.F5 = 40. Se 5|(3.F3 + 5.F5) e 5|(5.F5), obrigatoriamente 5|(3.F3). Como mdc(5,3) = 1, segue que 5|(F3).
(**) Se um triângulo tivesse 2 ângulos retos, os 180º se completariam e o terceiro ângulo valeria 0. Absurdo!
(***) 5 ângulos retos não completariam os 540º. Por outro lado, 4 ângulos retos e um de 270º seria combinação possível.