Poliedro convexo-2

por MarcinhO Sáb 18 Jul 2009, 23:20

Um poliedro convexo com faces quadrangulares e pentagonais 15 arestas calcule o numero de faces de cada tipo sabendo que a soma de todos os ângulos dos polígonos das faces é 32 retos

mais uma vez me ajuda estou travado nelas em um livro de estudo aqui ate mais boa sorte para nos

SENHOR É O MEU E O TEU PASTOR E NADA NOS FALTARA Shocked

por **Euclides** Dom 19 Jul 2009, 00:41

Estou pensando assim:

Poliedro convexo-2 Trer

cada face pentagonal tem 5 arestas e se o poliedro tem ao menos uma, pode ter no máximo duas, pois tres pentágonos, que juntos já possuem 15 arestas, não formam um poliedro.

Por outro lado, com um pentágono só e usando quadrados também não formaremos um poliedro. Temos então certamente dois pentágonos no poliedro.

Já dá prá ver que temos um prisma de base pentagonal com faces laterais quadradas. Os ângulos do pentágono são de 144^o cada um totalizando 1440^o ou 16 retos e os 5 quadrados somam 1800^o ou 20 retos. No total são:

-7 faces
- 15 arestas
- 10 vértices
- 36 retos

e isso satisfaz a relação de Euler: F+V=A+2 -> 7+10=15+7

por Jeffson Souza Dom 19 Jul 2009, 01:15

Boa noite!
A soma dos ângulos de todas as fases de um poliedro convexo é S=(V-2)*4r sendo "V" o número de vértices e "r" um anglo reto.
32r=(v-2)*4r
v-2=8
v=10

V+F=A+2
10+F=15+2
F=7

x fases quadrangulares e y fases pentagonais.

4x+5y=30
x+y=7

Resolvendo o sistema,temos:
x=5 e y=2
Temos 5 fases quadrangulares e 2 fases pentagonais.
Excelente raciocínio Euclides!