Calcular o comprimento do segmento MN

por lucasp Ter 10 Jul 2012, 17:36

Na figura, M é o ponto médio do lado BC, AN bissetriz do ângulo BÂC e BN perpendicular a AN. Se AB = 14 e AC = 20, calcule o comprimento do segmento MN.

Calcular o comprimento do segmento MN 3edf5faa31d463599ecc29f7b35e76c8

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Alguém pode resolver essa questão? Obrigado.

por **parofi** Sáb 14 Jul 2012, 11:40

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por **Medeiros** Sáb 14 Jul 2012, 23:36

Parabéns pela solução, Parofi.
Mas como você deduziu que o ponto P é médio de AB?

por **raimundo pereira** Dom 15 Jul 2012, 09:28

Olá Parofi , bom dia

Ótima resolução.

Uma dúvida: Depois que você afirma que AC é paralela a MN as coisas ficam claras, até mesmo para provar. Mas, como você sacou esse paralelismo ? um abraço

Raimundo

por **parofi** Dom 15 Jul 2012, 11:02

Olá:

De facto o que mostrei foi que se AC for paralela a MN (então, por uma propriedade conhecida, P é o ponto médio de AB), então o ângulo BNA é reto, pelo que se BNA não fosse reto, AC não seria paralela a MN. Mas não consegui provar a implicação contrária...

Parece-me que BNA reto↔AC paralelo a MN, mas só demonstrei a implicação AC paralelo a MN→BNA reto. Vou tentar provar a equivalência.

Também, na fase final, onde está PBN+BNP+PNB+NAB=180º deveria estar PBN+BNP+PNA+NAB=180º.
Um abraço.

por **Medeiros** Dom 15 Jul 2012, 11:27

Bom dia, Parofi.
Nem precisa preocupar-se, por mim, com maiores demonstrações. Apenas tive dificuldade com a retórica da sua exposição mas já está cabalmente provado. Entendo como sendo:

"Se MN // AC então temos … e, em consequência, BNA=90graus. Como BNA=90graus, de fato, então MN é paralelo a AC."

Um abraço.