Equação Trigonométrica

Calcular cos x na equação cos 2x = sen (x - pi/4)

Resposta: cosx = +- √2/2 ou cosx = (-√2 +- √6)/4



Tentei fazendo

cos²x - sen²x = √2/2(senx - cosx)

(senx - cosx)(senx + cosx) = -√2/2(senx - cosx)

(senx + cosx)² = (-√2/2)²

sen2x = -1/2


A partir daí não consegui chegar nos resultados. Gostaria de saber se está certo e como prosseguir.

Você cometeu um erro, a dividir os dois membros por (senx - cosx), eliminado duas soluções:

cos(2x) = sen (x - pi/4) ----> cos²x - sen²x = (√2/2)*(senx - cosx) ----> (senx - cosx)*(senx + cosx) = (-√2/2)*(senx - cosx) ---->

(senx - cosx)*(senx + cosx) + (√2/2)*(senx - cosx) = 0

(senx - cosx)*(senx + cosx + √2/2) = 0

Temos duas soluções:

a) senx - cosx = 0 ----> senx = cosx ----> sen²x = cos²x ----> 1 - cos²x = = cos²x ----> cos²x = 1/2 -----> cosx = ± √2/2

A solução acima é a que você desprezou a dividir os dois membros por (senx - cosx)

b) senx + cosx + √2/2 = 0----> senx + cosx = - √2/2 ----> (senx + cosx)² = 1/2 ----> sen(2x) = - 1/2

Temos duas soluções: uma no 3º quadrate e outra no 4º quadrante: cos(2x) = ±-√3/2

b1) cos(2x) = - √3/2 -----> 2x = 210º ----> x = 105º ----> cosx = cos(60º + 45º) ----> cosx = (√2 - √6)/4

b2) cos(2x) = + √3/2 -----> 2x = 330º ----> x = 165º ----> cosx = cos(120º + 45º) ----> cosx = (- √2 - √6)/4

Solução ligeiramete diferente do seu gabarito.
Por favor, confira minhas contas e o gabarito

Ok...Sempre me encrenco por não saber quando é que pode cortar ou não

Obrigado pela ajuda!

Você somente pode "cortar" quando for uma constante. Por exemplo:

2*senx = 4*cosx ----> Pode-se dividir ambos os membros por 2----> senx = 2*cosx.

Agora, neste caso ---> x² = 2x não pode dividir por x. O correto é:

x² - 2x = 0 -----> x*(x - 2)= 0 ----> x = 0 ou x = 2