Conjunto númerico

por Bvianna Qui 31 maio 2012, 15:26

(UFV 2004) Os números inteiros estão distribuídos em 4 conjuntos:A0, A1, A2 e A3, de acordo com o seguinte críterio: "O número inteiro x está no conjunto Aj se o resto da divisão de x por 4 é J". Por exemplo, 7 está no conjunto A3, pois o resto da divisão de 7 por 4 é 3.
Considere as seguintes afirmativas:

I - Se x E A1 e y E A3, então x + y E A0
II - Se x E A2 e y E A1, então x - y E A2
III - Se x E A2 e y E A2, então x . y E A0

Assinalando V para verdadeiro e F para falso, obtém-se a seguinte sequência:
A) V,F,V
B) V,V,F
C) F,V,D
D) F,F,V
E) V,V,V

Gabarito: A

Alguém poderia me ajudar na compreensão desse exercicio? Grato

por **Jose Carlos** Sex 01 Jun 2012, 11:21

I - Se x E A1 e y E A3, então x + y E A0
II - Se x E A2 e y E A1, então x - y E A2
III - Se x E A2 e y E A2, então x . y E A0

(I)

x = n1*4 + 1
y = n3*4 + 3
----------------
x + y = 4*( n1 + n3 ) + 4

x + y = 4*[ ( n1+n3 ) + 1 ] -> x + y é divisível por 4 -> ( x + y ) ∈ A0 -> V

(II)

x = n2*4 + 2
y = n1*4 + 1
-------------
x - y = 4*n2 - 4*n1 + 1 = 4*( n2-n1) + 1 -> ( x - y ) ∈ A1 -> F

(III)

x E A2
y E A2
x . y E A0

x = 4*n2 + 2
y = 4*n2 + 2

x*y = ( 4*n2 + 2 )*( 4*n2 + 2 ) = 16*( n2 )² + 16*n2 + 4 =

= 4*[ 4*(n2)² + 4*( 4*n2 ) + 4 -> ( x*y ) ∈ A0 -> V

item A -> V, F, V

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