A soma das raízes da equação

por **Bruna Barreto** Qua 16 maio 2012, 12:29

A soma das raízes da equação √3tgx -√3.sen2x + cos2x=0 que pertencem a [0,2pi] é:

Spoiler:

por Luck Qua 16 maio 2012, 15:19

√3tgx -√3.sen2x + cos2x=0
√3(tgx - sen2x) + cos2x = 0
√3tgx (1 - sen2x/tgx) + cos2x = 0
√3tgx [ 1 - 2senx.cosx/(senx/cosx) ] + cos2x = 0
√3tgx ( 1 - 2cos²x ) + cos2x = 0
√3tgx (-cos2x) + cos2x = 0
cos2x (1 - √3tgx) = 0
cos2x = 0 ou tgx = √3/3
2x = pi/2 + kpi ou x = pi/6 + kpi , k E Z
agora so analisar os valores de k ate completar uma volta...

por riddle Qua 07 Jun 2017, 18:42

Para o cosseno, x vale apenas pi/4 e 3pi/4?

por **Elcioschin** Qua 07 Jun 2017, 19:09

Não.

cos(2x) = 0

2.x = pi/2 -----> x = pi/4
2.x = 3.pi/2 ---> x = 3.pi/4
2.x = 5.pi/2 ---> x = 5.pi/4
2.x = 7.pi/2 ---> x = 7.pi/4

por riddle Qua 07 Jun 2017, 19:20

Não consigo visualizar.

cos = 0 apenas em pi/2 e 3pi/2, então entendo pi/4 e 3pi/4 (multiplicando por 2 consigo o ângulo do eixo dos senos), mas porque os outros dois valores servem? Essa pergunta pode parecer besta mas, acabei encontrando essa questão do ITA e errei por causa dessas duas raízes que não consigo visualizar porque cabem.

por **Elcioschin** Qua 07 Jun 2017, 19:35

O arco do cosseno vale 2.x

O que interessa é o valor de x e devemos ter 0 ≤ x ≤ 2.pi

Os 4 valores de x, que eu mostrei, estão neste intervalo (note que 7.pi/4 < 2.pi).

Logo, os 4 valores são válidos.

por riddle Qua 07 Jun 2017, 20:00

entendi, obrigado.

por Mikasa.Ackerman Qui 04 Jul 2019, 22:42

Por que a resposta nao e correta considerando x = pi/6 + kpi ?

por **Elcioschin** Qui 04 Jul 2019, 23:19

Todas as soluções encontradas valem:

1) cos(2.x) = 0 ---> 2.x = pi/2 + k.pi ---> x = pi/4 + k.pi/2

Para k = 0 ---> x = pi/4
Para k = 1 ---> x = 3.pi/4
Para k = 2 ---> x = 5.pi/4
Para k = 3 ---> x = 7.pi/4

2) tgx = √3/3 ---> x = pi/6 + k.pi

Para k = 0 ---> x = pi/6
Para k = 1 ---> x = 7.pi/6

Soma de todas as soluções:

S = (pi/4 + 3.pi/4 + 5.pi/4 + 7.pi/4) + (pi/6 + 7.pi/6)

S = 16.pi/4 + 8.pi/6

S = 4.pi + 4.pi/3

S = 16.pi/3