Soma das raízes da equação

Sendo x medido em radianos, com 0≤x≤2π, a soma de todas raízes da equação cos²(2x)=sen²(x) é igual a:
a) 2π
b) 3π 
c) 4π 
d)6π

Loren0 escreveu:Sendo x medido em radianos, com 0≤x≤2π, a soma de todas raízes da equação cos²2x=sen²x  é igual a:
a) 2π
b) 3π 
c) 4π 
d)6π

Temos algumas maneiras de escrevermos o cos(2x), 
cos(2x) = cos²x-sen²x
Porém, sabemos que o cos²x = 1 - sen²x,
Sabemos, ainda que, sen²x = 1 - cos²x
Podemos substituir isso na identidade cos(2x) = cos²x-sen²x
cos(2x) = cos²x-sen²x = (1-sen²x) - sen²x) =  1 - 2sen²x 
cos(2x) = cos²x-sen²x = cos²x - (1 - cos²x) = 2cos²x - 1 (ok)

Então, cos²(2x)=sen²x
* substituindo:
(2cos²x - 1)² = (4cos⁴x - 2.2cos²x.1 + (-1)²) = sen²x  ->
 4cos⁴x - 4cos²x + 1 = (1 - cos²x) 
 4cos⁴x - 3cos²x = 0           * Vamos chamar o cos²x = y
4y² - 3y = 0
∆ = b² - 4ac = (-3)² - 4.4.0 = 9 .:. √∆ = √9 = 3

y = (-b ± √∆)/2a => y = (-[-3] ± 3)/2.4                      * Então temos dois casos ("soma" e "subtração"), chamarei de y1 e y2

y1 = (+3 + 3)/8 = 6/8 = 3/4
y2 = (+3 - 3)/8 = 0
 
Lembre-se que y foi uma invenção nossa, na verdade y = cos²x, 
Portanto: cos²x = 0 -> cosx = 0  OU  cos²x = 3/4 -> cosx = ±√3/2

como o intervalo é 0 ≤ x ≤ 2π
Se você desenhar o círculo trig., verá que o: 
1) cosx é igual a zero em π/2 (90º) e 3π/2 (270º) rad
2) cosx é igual a +√3/2 temos π/6 (30º) 11π/6 (330º) rad
3) cosx é igual a -√3/2 temos 2π/3 (120º) e 4π/3 (240º) rad
logo, temos que somar essas "raízes" que satisfazem o intervalo (I) dado e são:
 I = [π/2 + 3π/2 +  π/6 + 11π/6 + 2π/3 + 4π/3]
Colocando todos no mesmo denominador: I = (3π + 9π + π + 11π + 4π + 8π)/6 = (24π + 12π)/6 = 36π/6 = 6π
Alternativa: d) 6π, deu aqui.
Espero ter ajudado

Opa! Li errado o enunciado:

cos(2.x) = cos²x - sen²x = (1 - sen²x) - sen²x = 1 - 2.sen²x ---> I

cos²(2.x) = (1 - 2.sen²x)² = 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  

1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  = sen²x ---> 4.(sen²x)² - 5.sen²x + 1 = 0

Equação biquadrada (ou equação do 2º grau na variável sen²x):

∆ = (-5)² - 4.4.1 ---> ∆ = 9 ---> √∆ = 3

sen²x = (5 ± 3)/2.4 ---> Raízes:

sen²x = 1 ---> senx = ± 1 ---> x = pi/2, x = 3.pi/2

sen²x = 1/4 ---> senx ± 1/2 ---> x = pi/4, x = 3.pi/4, x = 5.pi/4, x = 7.pi/4

S = pi/2 + 3.pi/2 +  pi/4 + 3.pi/4 + 5.pi/4 + 7.pi/4 ---> S = 6.pi

LinkGyn12

Seu erro foi escrever cos²(2.x) = cos²x - sen²x
O correto é cos(2.x) = cos²x - sen²x

Elcioschin escreveu:Opa! Li errado o enunciado:

cos(2.x) = cos²x - sen²x = (1 - sen²x) - sen²x = 1 - 2.sen²x ---> I

cos²(2.x) = (1 - 2.sen²x)² = 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  

1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  = sen²x ---> 4.(sen²x)² - 5.sen²x + 1 = 0

Equação biquadrada (ou equação do 2º grau na variável sen²x):

∆ = (-5)² - 4.4.1 ---> ∆ = 9 ---> √∆ = 3

sen²x = (5 ± 3)/2.4 ---> Raízes:

sen²x = 1 ---> senx = ± 1 ---> x = pi/2, x = 3.pi/2

sen²x = 1/4 ---> senx ± 1/2 ---> x = pi/4, x = 3.pi/4, x = 5.pi/4, x = 7.pi/4

S = pi/2 + 3.pi/2 +  pi/4 + 3.pi/4 + 5.pi/4 + 7.pi/4 ---> S = 6.pi

LinkGyn12

Seu erro foi escrever cos²(2.x) = cos²x - sen²x
O correto é cos(2.x) = cos²x - sen²x

Obrigada, grande mestre, o gabarito é esse! Desculpe pelo meu erro de digitação, sou nova no fórum e ainda estou aprendendo a usar, inclusive, está me ajudando bastante nos meus estudos!

Elcioschin escreveu:Opa! Li errado o enunciado:

cos(2.x) = cos²x - sen²x = (1 - sen²x) - sen²x = 1 - 2.sen²x ---> I

cos²(2.x) = (1 - 2.sen²x)² = 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  

1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²  = sen²x ---> 4.(sen²x)² - 5.sen²x + 1 = 0

Equação biquadrada (ou equação do 2º grau na variável sen²x):

∆ = (-5)² - 4.4.1 ---> ∆ = 9 ---> √∆ = 3

sen²x = (5 ± 3)/2.4 ---> Raízes:

sen²x = 1 ---> senx = ± 1 ---> x = pi/2, x = 3.pi/2

sen²x = 1/4 ---> senx ± 1/2 ---> x = pi/4, x = 3.pi/4, x = 5.pi/4, x = 7.pi/4

S = pi/2 + 3.pi/2 +  pi/4 + 3.pi/4 + 5.pi/4 + 7.pi/4 ---> S = 6.pi

LinkGyn12

Seu erro foi escrever cos²(2.x) = cos²x - sen²x
O correto é cos(2.x) = cos²x - sen²x

opaaaa!!! Cometi uma grande gafe kkk que falta de atenção!!!!!!! Valeu, doutor. Vou corrigir!

Loren0

Você precisa ler e seguir nossas Regras (no alto desta página)
Nesta postagem, você não respeitou a Regra XI: sabia o gabarito e não postou, junto com o enunciado.