Medida da Altura, Triângulos

Por um ponto P da base BC de um triângulo isósceles ABC, Traçam-se segmentos perpendiculares aos lados AB e AC. Se as medidas desses são iguais a 6 e 9, a medida de uma das alturas iguais deste triângulo é igual a:

(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 18
(E) 30

Gabarito:

Spoiler:

Galera, não tenho ideia de como fazer. Fiz o desenho apenas, mas não consegui achar nenhum ângulo ou alguma ferramenta para resolver.

Agradeço a ajuda !

Al.Henrique escreveu:Por um ponto P da base BC de um triângulo isósceles ABC, Traçam-se segmentos perpendiculares aos lados AB e AC. Se as medidas desses são iguais a 6 e 9, a medida de uma das alturas iguais deste triângulo é igual a:

(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 18
(E) 30

Gabarito:

Spoiler:

Galera, não tenho ideia de como fazer. Fiz o desenho apenas, mas não consegui achar nenhum ângulo ou alguma ferramenta para resolver.

Agradeço a ajuda !

Boa tarde, Henrique.

Traça-se o triângulo isósceles ABC, tendo BC como base.
Traça-se também uma perpendicular desde A até a base BC, identificando com a letra H seu encontro com o lado BC.
No triângulo ABC, temos:
AB = c
AC = b
BC = a

Em todo triângulo, o produto de cada lado por sua respectiva altura, é uma constante:
a*ha = b*hb = c*hc

Nesta questão, esses produtos são:
No triângulo AHB = c*6
No triângulo AHC = b*9
No triângulo ABC = b*x

Mas, observando bem, vemos que:
A soma desses produtos, triângulos AHB + AHC = 6c + 9b.

E como se trata de um triângulo isósceles, c=b; portanto:
Essa soma, triângulos AHB + AHC = 6b + 9b = 15b.

Assim sendo,
Esse produto, da base pela respectiva altura, em ABC = b*x = 15b.

Daí se conclui que x=15 e que, a altura do triângulo ABC em relação a "b" (ou a "c") é igual a 15.

Alternativa (C)


Espero que as explicações estejam claras para o amigo.





Um abençoado final de semana!

Mestre,
Fiz o desenho conforme o senhor detalhou, porém,Não entendi algumas partes da solução.

Primeiramente, porquê a area do triângulo AHB não é (c*6)/2 ?
(Base * Altura )/2

Segundo:

"Traça-se também uma perpendicular desde A até a base BC, identificando com a letra H seu encontro com o lado BC.
No triângulo ABC, temos:
AB = c
AC = b
BC = a "

Como BC = a
No final cheguei á seguinte equação :

(c*6/2) + (b*9/2) = a.x/2

Que dá
c*6 + b*9 = a.x

Como c = b pois o triângulo é isósceles, segue :
15b = ax

Como BC é a base do triangulo maior (ABC) e BC foi chamado de a, não entendo como o Senhor chegou ao resolutado:

15b = bx

Agradeço pela grande ajuda!

Outra dúvida,

Onde que foi utilizado essa informação ?

"...a medida de uma das alturas iguais deste triângulo é igual a:"

Não entendi o que ele quis dizer com isso, até porque, foi encontrado apenas uma altura.. Quais alturas seriam iguais ?

Al.Henrique escreveu:Mestre,
Fiz o desenho conforme o senhor detalhou, porém,Não entendi algumas partes da solução.

Primeiramente, porquê a area do triângulo AHB não é (c*6)/2 ?
(Base * Altura )/2

Segundo:

"Traça-se também uma perpendicular desde A até a base BC, identificando com a letra H seu encontro com o lado BC.
No triângulo ABC, temos:
AB = c
AC = b
BC = a "

Como BC = a
No final cheguei á seguinte equação :

(c*6/2) + (b*9/2) = a.x/2

Que dá
c*6 + b*9 = a.x

Como c = b pois o triângulo é isósceles, segue :
15b = ax

Como BC é a base do triangulo maior (ABC) e BC foi chamado de a, não entendo como o Senhor chegou ao resolutado:

15b = bx

Agradeço pela grande ajuda!

Boa noite, Henrique.

Em primeiro lugar, eu falei de área quando na verdade era o produto das bases por suas respectivas alturas que eu estava usando; como todos esses produtos são iguais, achei mais fácil comparar pelos produtos do que pelas áreas.

Então, desculpe essa minha falha (de misturar áreas com os produtos base x altura de cada um dos lados)

Em segundo lugar, quando escrevi:
No triângulo ABC = b*x
ABC = b*x = 15b

eu estava me referindo à base b do triângulo ABC, tentando assim demonstrar que sua altura x era igual à soma 6+9=15; portanto, não estava usando x como altura da base a (lado BC).

Espero que agora lhe seja possível compreender.
Qualquer dúvida que permaneça, por favor retorne.



Um abraço.

Mestre,
Perdoe-me minha incipiência..Mas continuo não entendendo..
Eu enxerguei a figura da seguinte forma :

Al.Henrique escreveu:Outra dúvida,

Onde que foi utilizado essa informação ?

"...a medida de uma das alturas iguais deste triângulo é igual a:"

Não entendi o que ele quis dizer com isso, até porque, foi encontrado apenas uma altura.. Quais alturas seriam iguais ?

Boa noite,

Respondendo a esta sua dúvida:
Todo triângulo, obviamente, tem 3 alturas, e num triângulo isósceles, que tem 2 de seus lados iguais, as respectivas alturas são iguais.
E sobre essas alturas (referentes aos lados iguais do triângulo isósceles) que o autor da questão deve estar-se referindo.




Um abraço.

Al.Henrique escreveu:Mestre,
Perdoe-me minha incipiência..Mas continuo não entendendo..
Eu enxerguei a figura da seguinte forma :

Olá, Henrique, estou de volta.

O amigo desenhou um triângulo quase equilátero.
Procura desenhar um outro, com a base visivelmente menor que os lados iguais, para melhor visualização das "alturas iguais".
Pena que eu não sei como desenhar as figuras para colocá-las aqui.

No meu esboço aqui, fiz a base com uns 3 cms e os lados iguais com uns 5 cm cada um.
A seguir, tracei uma perpendicular desde A até tocar na base BC; de modo que o citado ponto P ficou sendo o que identifiquei como H (o pé da perpendicular).
Como o lugar do ponto P é arbitrário (ao acaso), não tem importância eu ter feito assim. Então, H=P.
Assim, passarei a chamarmeu ponto H de ponto P, para concordar com os dados da questão.

Desse ponto P (pé da perpendicular), tracei as perpendiculares aos lados AB (=c) e AC (b).
O pé da perpendicular que vai de P até o lado c, identifiquei agora com a letra D, e a que vai até o lado b, com a letra E.

PD = 6
PE = 9

Se agora traçarmos uma perpendicular desde o vértice B, até o lado b, identificando sua intersecção com b com a letra F, fica:
PD + PE = BF
6 + 9 = 15

Espero estar melhorando nas explicações.
Aguardo seu retorno, e peço-lhe desculpas pelas dificuldades que está tendo.




Um abraço.

Mestre,

Entendi perfeitamente sua solução Agora, segui o passo a passo que o senhor explicou.

Segue que o Senhor usou um teorema que eu não havia identificado. Tampouco lembro o nome deste teorema. O senhor lembra ? Sabe me dizer qual é o teorema que dis isso ? :

Em um triângulo isósceles,A soma das distancias do pé da altura relativa ao lado não isoceles até os catetos isósceles é igual a altura altura relativa ao cateto isóceles.

Por isso que PD+PE = BF
BF é altura de B e é numericamente igual a altura de C!

Agradeço ao Senhor por toda sua paciência e esforço em me fazer compreender. É realmente uma Honra ter o senhor ao nosso lado neste fórum.

Muito agradecido!

Al.Henrique escreveu:Mestre,

Entendi perfeitamente sua solução Agora, segui o passo a passo que o senhor explicou.

Segue que o Senhor usou um teorema que eu não havia identificado. Tampouco lembro o nome deste teorema. O senhor lembra ? Sabe me dizer qual é o teorema que dis isso ? :

Em um triângulo isósceles,A soma das distancias do pé da altura relativa ao lado não isoceles até os catetos isósceles é igual a altura altura relativa ao cateto isóceles.

Por isso que PD+PE = BF
BF é altura de B e é numericamente igual a altura de C!

Agradeço ao Senhor por toda sua paciência e esforço em me fazer compreender. É realmente uma Honra ter o senhor ao nosso lado neste fórum.

Muito agradecido!

Boa noite, Henrique.

Eu é que agradeço e fico muito contente ao saber que consegui esclarecer o amigo.
Pesquisei pelo Google, mas não encontrei o teorema, embora me lembre de algo a respeito.
Veja como é resolvida esta mesma questão, no link a seguir, item 11:
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/ativ11/geom1r.html




Um grande abraço.