determinante com uso das identidades trigonométricas

por profa.rafa Seg 30 Abr 2012, 11:59

Olá caros colegas, o exercício pede para mostrar que R(a) * R(-a) = 1,
sendo esta a matriz R(β) = | cos (β) sen (β) |
| - sen(β) cos (β) |

eu cheguei a

cos (a)cos(-a) - sen(a)sen(-a) cos(a)sen(-a) + sen(a)cos(-a)
-[sen(a)cos(-a) + cos(a)sen(-a)] cos(a)cos(-a) - sen(a)sen(-a)

e dai então não consegui desenrolar, desde já agradeço.

por Paulo Farias Seg 30 Abr 2012, 20:45

A função R(β) dá o determinante, que pode ser escrito:

R(β) = Cos²(β) + Sen²(β) = 1

Ou seja: ∀ β ∈ R R(β) = 1

Logo R(a)·R(-a) = 1·1 = 1

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Mas tem certeza que a questão é assim? Assim fica bem tranquila, de
imediato achei que teria de usar algumas identidades do tipo:
Cos(a) = Cos(-a) ← Função par
Sen(a) = -Sen(-a) ← Função ímpar

Mas desenvolvendo era mais simples que isso...

por profmat2000 Seg 30 Abr 2012, 23:03

Creio que se R( β) é uma matriz, então R(a) e R (-a) também são matrizes. Portanto, a demonstração solicitada deve ser R(a) * R (-a) = I (matriz identidade)

por **Jose Carlos** Ter 01 maio 2012, 11:11

..................|cos (a).......sen (a)...||cos (a)........sen (-a)...|
R(a)*R(-a) = |.............................||................................|=
..................| - sen (a)....cos (a)...||- sen (-a)....cos (-a).. |

...|cos(a)*cos (-a)+sen (a)*( -sen (-a)).....cos (a)*sen (-a)+sen (a)*cos (-a).......|
= |.............................................................................................................|=
...|- sen (a)*cos (-a)+cos (a)*( -sen (-a))......- sen (a)*sen (-a)+cos(a)*cos(-a)..|

...| 1........0...|
= | 0........1...|= I