Geometria Plana: Triângulo Áureo

por GILSON TELES ROCHA Qua 11 Abr 2012, 17:00

(UnB 1997) O Nautilus, mostrado na figura I, é um molusco que vive nas águas profundas do Pacífico e que tem uma estrutura composta por sucessivas câmaras, em forma de espiral logarítmica, que pode ser obtida geometricamente, conforme representa a figura II.

Na figura II, o triângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ é isósceles, com ângulos da base medindo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex.cgi?72%5E%5Ccirc%20$ Esse triângulo é dito áureo porque a razão $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ satisfaz à relação $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex.cgi?r%5E2=r+1$ O ponto $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ é obtido pela interseção do segmento $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ com a bissetriz do ângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex.cgi?%5Chat%7BB%7D$ Considerando-se agora o triângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ obtém-se o ponto $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ pela interseção do segmento $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ com a bissetriz de $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex.cgi?%5Cwidehat%7BC%7D$ Do mesmo modo, procede-se com o triângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ para se obter o triângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ e assim por diante, até que o triângulo $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ seja obtido. A espiral passa, então, sucessivamente e na mesma ordem, pelos três vértices de cada um desses triângulos.
Supondo que a medida do segmento $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ seja igual a $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ e escrevendo a soma dos comprimentos dos segmentos $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ na forma $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ na qual $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ e $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex$ são números naturais calcule, em centímetros, o valor da soma $Geometria Plana: Triângulo Áureo Mimetex.cgi?n+m$

Gabarito: 6