Geometria plana - Triangulo

por rumoaoita1997 Sex 10 Jul 2015, 21:04

Determine o raio da circunferência que tangencia internamente os três lados de um triângulo retângulo de catetos medindo 3cm e 4cm.
Obrigado.

por **Matheus Vilaça** Sex 10 Jul 2015, 22:53

Olá,
Desenhando o caso em questão, temos:
Geometria plana - Triangulo 10of9lg

Assim:
$\\\frac{2.y.R}{2}+\frac{2x.R}{2}+R^{2}=\frac{4.3}{2}\\ \\y.R+x.R+R^2=6\\ \\y=4-R\: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: x=3-R\\ \\4R-R^2+3R-R^2+R^2=6\\ \\R^2-7R+6=0\\ \\R'=6\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: R''=1$

Como o raio tem que ser menor que os lados, temos:
R=1cm

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Você poderia usar a "fórmula" para circunferências inscritas em triângulos, em que o raio do circunferência é dado por:
R=S/p, em que S é a área do triângulo e p é o semiperímetro.
Assim, para o caso em questão, temos:
S=4.3/2 = 6
p= (3+4+5)/2=6
Logo:
R=1cm