Muita dúvida - Esboço no plano complexo

por Jh Sáb 31 Mar 2012, 10:52

Seja S o conjunto de números complexos z tais que |z-(2+4i)|=2.

a) No plano complexo, faça o esboço de S, sendo z = x + iy, com x e y números reais.
b) Determine o ponto de s MAIS próximo da origem.

Heeeelp!!!

por **Agente Esteves** Sáb 31 Mar 2012, 11:28

Digitar os títulos em caixa alta não é permitido porque faz com que seu tópico ganhe atenção injustamente quanto a outros tópicos com outras dúvidas.

Título editado.

por **Elcioschin** Sáb 31 Mar 2012, 13:26

|z - (2 + 4i)| = 2

|x + yi - 2 - 4i| = 2

|(x - 2) + (y - 4)i| = 2

(x - 2)² + (y - 4)² = 2²

Temos a equação de uma circunferência de centro C(2, 4) e raio R = 2
Esta circunferência tangencia o eixo imaginário no ponto P(0, 4)
Faça um desenho.

OC² = 2² + 4² ----> OC² = 20 ----> OC = \/20 ----> OC = 2*\/5

Seja P o ponto em que a reta OC corta a circunferência:

OP = OC - CP ----> OP = 2*\/5 - 2

Cálculo das coordenadas do ponto P(xP, yP):

yC/OC = yP/OP ----> 4/2*\/5 = yP/(2*\/5 - 2) ----> yP = (10 - 2*\/5)/5

xC/OC = xP/OP ----> 2/2*\/5 = xP/(2*\/5 - 2) ----> xP = (5 - 2*\/5)/5

por matheuss_feitosa Sáb 31 Mar 2012, 13:51

|z-(2+4i)|=2 represente uma circunferência de raio 2 centrada em A (2; 4) no plano complexo.

O que é a mesma coisa de:
(x-2)² + (y-4)²=2²

Traçando uma reta que passa por A e pela origem, encontramo-na com equação 2x-y=0 ou y=2x.
Agora só precisamos fazer um sistema que nos dará os dois pontos onde a reta toca a circunferência.

B --> (x', y') --> (2+2/√5; 4+4/√5)

C --> (x",y") --> (2-2/√5; 4-4/√5) --> Obviamente, C é mais próximo da origem.

Poderíamos escrevê-lo ainda como C= (2-2/√5) + i.(4-4/√5)

Abraços. cheers