progressão geometrica

Por gentileza caso possam em ajudar (mais uma vez) nesta:
Dada a progressão geométrica (a1,a2,a3,…a(n-1),an,…) prove que o produto Pn de seus n primeiros termos é dado por
|Pn |=√(|a1.an |^n ).

Grata desde já

Veja:

a1=a1
a2=a1.q
a3=a2.q=a1.q^2
a4=a3.q=a1.q^3
. .
. .
. .
an=a1.q^n-1 x
-----------------------
Pn=a1.a2.a3.a4.........an= a1^n .(q . q^2 . q^3 .... q^n-1)= * Expoentes de q crescem em P.A.
Pn=a1^n . q^n(n-1)/2=a1^n .(an/a1)^1/n-1.n(n-1)/2= *Se an=a1.q^n-1, então q=(an/a1)^1/n-1
Pn=a1^n.(an/a1)^n/2 *Elevando ao quadrado
Pn^2= a1^2n . (an/a1)^n= a1^2n-n .an^n= (a1.an)^n
Pn=√|(a1.an)^n|

Há também uma segunda forma:

Se sabemos que em toda P. G., a1.an=a2.an-1=a3.an-2=...=ak.an-k+1, temos,

Pn=a1.a2.a3.a4.........an

Invertendo a ordem,

Pn=an..........a4.a3.a2.a1

Multiplicando,

Pn^2=(a1.an)(a2.an-1)(a3.an-2)....(an.a1)=(a1.an)^n
Pn=√|(a1.an)^n|

Abraços.

|Pn| = ... :cyclops:

É sempre MUITO bom também se lembrar da:

Noção e significado do "TERMO MÉDIO" !

O termo médio pode substituir todos os termos, tanto na Soma da PA quanto no Módulo do Produto na PG.

PA: a = (a1+an)/2

PG:|A|= √|(A1.An)|

Notar as relações:

PA <----------------> PG

SOMA <-------------> PRODUTO

DIFERENÇA <--------> DIVISÃO

MULTIPLICAÇÃO <---> POTENCIAÇÃO

DIVISÃO <----------> RADICIAÇÂO

Soma PA = a + a + a ... a + a = a .n = (a1+an).n/2

|Produto PG| = |A . A .A ... A . A| = |A|ⁿ = √(|A1.An|ⁿ)

E Vamos Lá ! !

obrigada matheus e rihan