"buraco cilindrico"

Relembrando a primeira mensagem :

Por gentileza ,caso possam me ajudem nesta resolução:

1. Numa esfera de raio igual a 10cm, cave um “buraco cilíndrico” de 6cm de raio e cujo eixo seja um diâmetro da esfera.





a) (2,0) Calcule a altura do cilindro. Apresente seus cálculos como justificativa.

b) (2,0) Calcule o volume de uma esfera de diâmetro igual à altura do cilindro. Apresente seus cálculos como justificativa.

c) (2,0) Use o Princípio de Cavalieri para calcular o volume da parte da esfera que restou após ser cavada a parte cilíndrica.

Elcioschin escreveu:psdias

Você tem razão: eu esquecí de dividir por 3 nos itens b, c

Quando você retira todo o material da esfera (incluindo as calotas), sobra um "buraco cilíndrico" conforme informado no enunciado.

Esee "buraco" é um cilindro de altura H (H é a distância entre as duas bordas do buraco).

O que o enunciado pede é a altura deste CILINDRO.

Assim, os volumes das calotas não interessa neste problema .

Olá Elcioschin,
O problema deste post é o mesmo deste outro post:
https://pir2.forumeiros.com/t9947-buraco-na-esfera?highlight=cave+buraco
Se sim, as respostas não deveriam ser as mesmas, ou pelo menos parecido.
Novamente agradeço.

SuperStar

Eu interpretei erradamente o enunciado do que se pede no item c.

Editei minhas mensgens a respeito (em vermelho) e vou responder agora:

Prova-se (vejam tópico "buraco na esfera") que o volume restante da esfera (depois de furada e removidas as duas calotas e o cilindro de altura H) vale:

Vr = (4/3)*pi*(H/2)³ ----> Vr = pi*H³/6

Neste problema foi calculado H = 16 ----> Vr = pi*16³/6 ----> Vr = (2048/3)*pi

Notem que este valor é idêntico ao volume de uma esfera de raio 8 (diâmetro igual a altura do cilindro)

Para fazer por Cavalieri é simples:

1) Desenhem a esfera de raio R = 10 e o furo de raio r = 6

2) Desenhem uma seção transversal qualquer do sólido (São dois círculos concêntricos)

3) A área entre a esfera e o cilindro vale S = pi*(R² - r²) ----> S = pi*(10² - 6²) ----> S = pi*8²

4) Esta área é exatamente igual à da seção transversal de uma outra esfera de raio r' = 8

Logo, pelo Princípio de Cavalieri o volume do sólido restante Vr é igual ao volume da outra esfera:

V = (4/3)*pi*r'³ ----> V = (4/3)*pi*(H/2)³ ----> V = pi*H³/6

Estou acompanhando o desenvolvimento desse exercício desde o inicio e estou com uma dúvida no final da resolução, veja se o r`é 8 porque vc colocou H/2 ao cubo e não o 8?

Márcia

H é a altura calculada do buraco cilíndrico ----> H = 16 ----> H/2 = 8

O Buraco cilíndrico numa esfera é denominado Anel Esférico. Veja o desenvolvimento:

obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/11/o-calculo-infinitesimal-tem-diversas.html

Um abraço.

Nossa, tenho muita dificuldade em geometria, está sendo muito bom poder compartilhar aqui com vocês, obrigada!

SuperStar,

na resposta que dei, citada por você, disse o que se deveria fazer para resolver o item (c) e indiquei dois links com desenhos e explicações; bastava seguir isso.
Mas acho esta uma boa questão, didática, daquelas que testam e ao mesmo tempo ensinam e mostram algo novo. Respondo a você, aproveitando esse espírito.

c) Use o Princípio de Cavalieri para calcular o volume da parte da esfera que restou após ser cavada a parte cilíndrica.

A "parte da esfera que restou" é um anel esférico, conforme bem lembrou o colega kleberkilhian, cujo volume não sabemos calcular e por isso vamos nos auxiliar do princípio de Cavalieri.

Princípio de Cavalieri: dois sólidos que tiverem a mesma altura e sempre que seccionados por um mesmo plano gerarem áreas iguais, terão volumes iguais.

Precisamos, então, construir um sólido cujo volume saibamos calcular e que atenda ao princípio de Cavalieri. De um cilindro equilátero (altura = diâmetro da base), extraímos dois cones retos de bases iguais e coincidentes com as do cilindro e vértices à meia altura do cilindro (alguns chamam de anticlepsidra a esse sólido restante porque é como se tirássemos uma ampulheta do cilindro). E, importante, construímos isso com a mesma altura (H) do anel esférico.

Agora vamos seccionar ambos por um plano qualquer que fica a uma altura h dos respectivos centros. Como h pode ser qualquer valor (entre os limites do sólido), garantimos que isso vale para qualquer um dos infinitos planos que possam cortar os sólidos.




Como as áreas resultaram iguais, então, graças a Cavalieri, o anel esférico terá o mesmo volume da anticlepsidra, o qual vamos calcular.


cálculo do volume da anticlepsidra

será o volume do cilindro menos os 2 volumes dos cones iguais.



observe que esta é a equação do volume de uma esfera de diâmetro H. Ou, considerando o raio H/2,



Daqui já concluímos que o volume do anel esférico é igual ao de uma esfera com diâmetro igual a altura do anel !!!

passando aos valores,



Comparando com o item (b), já calculado, verificamos serem iguais.

Abraços.