"buraco cilindrico"

Por gentileza ,caso possam me ajudem nesta resolução:

1. Numa esfera de raio igual a 10cm, cave um “buraco cilíndrico” de 6cm de raio e cujo eixo seja um diâmetro da esfera.





a) (2,0) Calcule a altura do cilindro. Apresente seus cálculos como justificativa.

b) (2,0) Calcule o volume de uma esfera de diâmetro igual à altura do cilindro. Apresente seus cálculos como justificativa.

c) (2,0) Use o Princípio de Cavalieri para calcular o volume da parte da esfera que restou após ser cavada a parte cilíndrica.

a) R² = r² + (H/2)² ---> 10² = 6² + (H/2)² ---> (H/2)² = 64 ----> H/2 = 8 ----> H = 16 cm

b) D' = H ----> 2*R' = 16 ---> R' = 8 ---> V = (4/3)*pi*R'³ ---> V = (4/3)*pi*8³ ---> V = 2048*pi/3 cm³

c) Vejam mais a frente

Olá, gostaria de confirmar meus resultados com vcs colegas:

a) h = 16cm

b)288pi cm³

Obrigada

Olá Elcio, obrigada...percebi um erro no meu.

Prezado Elcio e Rafa:

Na questão (b) não faltou dividir por 3 ? Você indicou (4/3)*8^3*pi,
mas parece que nao dividiu por 3. Neste caso, a conta daria 682,67*pi cm3 (ou 2144,67 cm3). Nâo sei se eu é que estou enganado...

Na questão (c), parece que também faltou dividir a primeira parcela por 3. Neste caso, daria 757,33*pi cm3 (ou 2379,23 cm3).

Porém, tenho dúvida se também não é para descontar as duas "calotas". Para fazer um furo cilíndrico em uma esfera, uma "máquina de furar" de verdade acabaria arrancando as calotas também. Neste caso, cada calota teria 112/3 * pi cm3 (117,29 cm3). Como são duas, teríamos que retirar o total de 234,57 cm3. Assim, 2379,23 - 234,57 = 2144,66 cm3. Ou será que é apenas para imaginar que retiramos o cilindro "do miolo" da esfera, mantendo as calotas intactas ?

Espero ter sido claro nas minhas dúvidas. Desculpem se fiz alguma confusão, mas gostaria de esclarecer esses pontos.

Paulo

Profa. Rafa,
as questões (b) e (c) deverão revelar o mesmo resultado, ou seja, aproximadamente 683*pi cm³, conforme já calculado pelo Elcioschin no item (b).

Para a questão (c) deve-se aplicar o princípio de Cavalieri, lembrando que, agora, a (ex)esfera tem apenas 16cm de altura (não mais os 20 do diâmetro original) e, portanto, deveremos usar, para comparação, uma anticlepsidra com esses mesmos 16cm no cilindro equilátero. Veja os links:

- http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html <---- este está mais bem explicado;
- http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo1601.htm <--------------------------------- este está mais bem desenhado.

Abraços.

psdias

Você tem razão: eu esquecí de dividir por 3 no item b

Quando você retira todo o material da esfera (incluindo as calotas), sobra um "buraco cilíndrico" conforme informado no enunciado.

Esse "buraco" é um cilindro de altura H (H é a distância entre as duas bordas do buraco).

O que o enunciado pede é a altura deste CILINDRO.

Olá Elcioschin,
Como eu posso provar que um estera que tem diâmetro igual a 16(que por sua vez é igual a altura do cilindro) tem volume igual ao da esfera esburacada, ou seja, pelo princípio de Cavalieri que as secções paralelas a entrada do buraco tem área igual as secções da esfera de diâmetro 16?
Desde já agradeço.

Elcioschin escreveu:psdias

Você tem razão: eu esquecí de dividir por 3 nos itens b, c

Quando você retira todo o material da esfera (incluindo as calotas), sobra um "buraco cilíndrico" conforme informado no enunciado.

Esee "buraco" é um cilindro de altura H (H é a distância entre as duas bordas do buraco).

O que o enunciado pede é a altura deste CILINDRO.

Assim, os volumes das calotas não interessa neste problema .

Olá Elcioschin,
Como eu posso provar que um estera que tem diâmetro igual a 16(que por sua vez é igual a altura do cilindro) tem volume igual ao da esfera esburacada, ou seja, pelo princípio de Cavalieri que as secções paralelas a entrada do buraco tem área igual as secções da esfera de diâmetro 16?
Desde já agradeço.

Medeiros escreveu:Profa. Rafa,
as questões (b) e (c) deverão revelar o mesmo resultado, ou seja, aproximadamente 683*pi cm³, conforme já calculado pelo Elcioschin no item (b).

Para a questão (c) deve-se aplicar o princípio de Cavalieri, lembrando que, agora, a (ex)esfera tem apenas 16cm de altura (não mais os 20 do diâmetro original) e, portanto, deveremos usar, para comparação, uma anticlepsidra com esses mesmos 16cm no cilindro equilátero. Veja os links:


Abraços.

Olá Medeiros, peço a você a mesma ajuda que pedi ao Elcioschin:
Como eu posso provar que um estera que tem diâmetro igual a 16(que por sua vez é igual a altura do cilindro) tem volume igual ao da esfera esburacada, ou seja, pelo princípio de Cavalieri que as secções paralelas a entrada do buraco tem área igual as secções da esfera de diâmetro 16?
Desde já agradeço.