Inequação Trigonométrica

Determine para quais valores de x ∈ (- pi/2, pi/2) vale a desigualdade:



Gabarito: S = { x ∈ R / - pi/4 < x < - pi/6 ou pi/6 < x < pi/4}

Condição de existência da função logaritmo:

1) base > 0 e base <> 1 ----> 1° e 4° quadrantes (OK) ---> cosx <> 1 ----> x <> 0

2) 4*sen²x - 1 > 0 ----> sen²x > 1/4 ----> senx < - 1/2 ou senx > 1/2 ----> x > - pi/6 ou x < + pi/6


log[cosx]{(4*sen²x - 1)/(4 - sec²x)} - 2 > 0

log[cosx]{(4*sen²x - 1)/(4 - sec²x)} - log[cosx](cos²x) > 0

log[cosx]{(4*sen²x - 1)/(4 - sec²x)*cos²x} > 0

log[cosx]{(4*sen²x - 1)/(4*cos²x - 1)} > log[cosx](1)

A base é positiva e menor do que 1 (1° e 4° quadrante)

(4*sen²x - 1)/(4*cos²x - 1) < 1

4*sen²x - 1 < 4*cos²x - 1

sen²x - cos²x < 0 ----> sen²x - (1 - sen²x) < 0 ----> 2*sen²x < 1 ----> sen²x < 1/2

- V2/2 < sen²x < + V2/2 ----> - pi/4 < x < + pi/4

Solução final ----> - pi/4 < x < - pi/6 ou pi/6 < x < pi/4

Favor conferir meus cálculos