Calcule o Limite:

por Everton Maia Qui 15 Mar 2012, 10:10

lim (x+16)^-2 - 16^-2
x-->0 x

Da indeterminação, tentei mudá-la de todo jeito aqui e nao consegui chegar a um resultado, alguém explica ?

Abraços!

por **hygorvv** Qui 15 Mar 2012, 13:56

[(x+16)^-2-16^-2]/x=[1/(x+16)²-(1/16)²/x=(16²-(x+16)²)/16²x(x+16)²=(16²-x²-32x-16²)/16²x(x+16)²=-x(x+32)/16²x(x+16)²=-(x+32)/16²(x+16)²

lim[x->0]-(x+32)/16²(x+16)²=-32/16^4=-1/2048

Espero que seja isso e que te ajude.

por **Euclides** Qui 15 Mar 2012, 14:04

$\\\lim_{x\to0}\frac{(x+16)^{-2}-16^{-2}}{x}\;\;\to\;\;\lim_{x\to0}\frac{\left (\frac{1}{(x+16) \right )^2}-\left (\frac{1}{16} \right )^2}{x} \;\;\to\;\;\lim_{x\to0}\frac{\left (\frac{1}{(x+16) \right+\frac{1}{16} )}\left (\frac{1}{x+16}-\frac{1}{16} \right )}{x} \\\\\\\lim_{x\to0}\frac{\left (\frac{16+x+16}{16(x+16) \right)}\left (\frac{16-x-16}{16(x+16)} \right )}{x} \;\;\to\;\;\lim_{x\to0}\frac{\left (\frac{32+x}{16(x+16) \right)}\left (\frac{-x}{16(x+16)} \right )}{x} \;\;\to\;\;\lim_{x\to0}\frac{\left (\frac{-32x-x^2}{16^2(x+16)^2 \right)}}{x} \\\\\\\lim_{x\to0}\left (\frac{-x(32-x)}{16^2x(x+16)^2 \right)} =\lim_{x\to0}\frac{x-32}{16^2(x+16)^2}=\frac{2^5}{2^{{ \boldsymbol{16}}}}=2^{-\boldsymbol{11}}$

Dê uma conferida nas contas, por via das dúvidas.

por Everton Maia Qui 15 Mar 2012, 15:01

Perfeita resposta Euclides, minha duvida era exatamente como fazer depois do 3º passo, muito obrigado!

por **hygorvv** Qui 15 Mar 2012, 15:04

Euclides, creio que o senhor errou no final:

lim[x->0](x-32)/16²(x+16)²=-2^5/2^16=-2^-11=-1/2048

por **Euclides** Qui 15 Mar 2012, 15:14

Tem razão meu compadre hygorvv. Vou efetuar a correção.

por Everton Maia Qui 15 Mar 2012, 15:18

Acabei nao observando direito rs, mais uma vez obrigado hygorvv e Euclides!

por **Elcioschin** Sáb 17 Mar 2012, 12:26

Ainda há necessidade de correção no numerador da última linha do Euclides:

-x*(32 + x) -----> - x - 32 ----> - 2^5

por Everton Maia Sáb 17 Mar 2012, 12:36

Interessante, como uma pequena expressão se torna tão dificil, ou um pouco dificil rs.. Mais interessante ainda que quando resolvi no papel após ver aqui, deu negativo mesmo.. ^^