triangulo equilatero

A seguinte equação relaciona as distâncias (p, q, t) e o lado a:

3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p^2 + q^2 + t^2 + a^2)^2.

p = 5
q = 7
t = 8

3(5^4 + 7^4 + 8^4 + a^4) = (5^2 + 7^2 + 8^2 + a^2)^2.
3.7122 + 3a^4 = 138^2 + 2.138.a^2 + a^4
21366 - 19044 + 3a^4 - a^4 - 276a^2 = 0
2322 + 2a^4 - 276a^2 = 0

Resolvendo a equação quadrática acima teremos as seguintes raízes:

a' = -3
a'' = 3
a''' = √129
a'''' = -√129

Analisando as raízes, como o lado a deve ser positivo, descartamos as raízes a' e a''''.
Das raízes restantes, teremos que o lado não pode ser menor que a distância entre um dos pontos e o vértice. Logo a raíz restante é o resultado:

a = √129 cm.

Portanto, o lado de tal triângulo mede √129 cm.

Obs. Você também pode calcular dividindo o triângulo em três, delimitadas pelas cordas criadas pela distância entre ponto-vértice, calcular pela fórmula de Heron, e igualar a área do triângulo total, o que te fará chegar em uma equação biquadrada.
Fonte(s):
http://en.wikipedia.org/wiki/Equilateral…