Área de superfície gerada pela rotação

por **Iago6** Ter 07 Fev 2012, 03:33

$f (x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2} , -1\leq x\leq 1$

gabarito:

$\frac{\pi }{2} [e^2 +4 - e^{-2}]$

por **Euclides** Ter 07 Fev 2012, 16:46

Olá Iago, há fórmulas para isso. As fórmulas são deduzidas pelo mesmo método de partições que resultam num somatório de superfícies de troncos de cone:

$\\A_r=2\pi\int_{a}^{b}f(x).\sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^2}dx\;\;\text{ em torno do eixo }x\\\\A_r=2\pi\int_{a}^{b}g(y).\sqrt{1+\left [ g'(y) \right ]^2}dy\;\;\text{ em torno do eixo }y$

por **Iago6** Ter 07 Fev 2012, 18:06

Euclides, não seria?

$\large \inline \\A_r=2\pi \int_{a}^{b}f(x).\sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^2}dx\;\;\text{ em torno do eixo }x\ \\\\A_r=2\pi \int_{-1}^{1}\frac{e^x+e^{-x}}{2}\sqrt{1+\frac{e^{-2x}+e^{2x}+2}{4}} dx \\\\\ A_r=2\pi \int_{-1}^{1}\frac{e^x+e^{-x}}{2}\sqrt{\frac{4+e^{-2x}+e^{2x}+2}{4}}dx \\\\\ A_r=\frac{2\pi}{4} \int_{-1}^{1}({e^x+e^{-x})\sqrt{4+e^{-2x}+e^{2x}+2}}dx$

O problema é que não consegui sair daqui, tentei no wolfram, mas deu uma resposta gigantescamente diferente do gab.

por **Euclides** Ter 07 Fev 2012, 20:45

Você cometeu um erro de sinal na derivação da função. Veja agora se dá certo:

$\\f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\;\;\to\;\;f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\;\;\to\;\;\left [f'(x) \right ]^2=\frac{1}{4}\left ( e^{x}-e^{-x} \right )^2\\\\1+\left [ f'(x) \right ]^2=\frac{1}{4}(e^{x}-e^{-x})^2+1=\frac{1}{4}\left ( e^{2x}+e^{-2x}+2 \right )=\frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2\\\\\sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^2} =\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\\\\\2\pi\int f(x).\sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^2}dx=2\pi\int \left (\frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )^2dx=\frac{\pi}{2}\int \left ( e^x+e^{-x} \right )^2dx$