Área de superfície

por **Jader** Sex 06 Jun 2014, 00:04

Calcular a área da parte da superfície da esfera x² + y² + z² = a², cortada pela pela superfície x²/a² + y²/b² = 1 (0 < b < a)

por Man Utd Sex 06 Jun 2014, 12:04

Esboçando verá que : $-\sqrt{a^2-x^2-y^2} \leq z \leq \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ , e a elipse é a própria projeção do sólido no plano xy , então :

$-\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )} \leq y \leq \sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )}$ e $-1 \leq x \leq 1$ , segue que :

$\\\\\\ \int_{-a}^{a} \; \int_{-\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )}}^{\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )}} \; \sqrt{a^2-x^2-y^2}-(-\sqrt{a^2-x^2-y^2}) \; dydx \\\\\\ 2 \times \int_{-a}^{a} \; \int_{-\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )}}^{\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2} \right )}} \; \sqrt{a^2-x^2-y^2} \; dydx$

Usando diretamente a susbtituição : $\\\\\\ \frac{x}{a}=rcos\theta \\\\ \frac{y}{b}=rsen\theta$ temos que o jacobiano é : $\\\\\\ J=ab r$ , agora com esta mundaça de variavéis estamos integrando uma circuferência de raio "a" centrada na origem.Então :

$\\\\ 2 \times \int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{a} \; \sqrt{a^2-\left( a^2r^2cos^{2}\theta+a^2r^2sen^{2} \theta \right )}*(abr) \; drd\theta \\\\ 2ab \times \int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{a} \; \sqrt{a^2-a^2r^2 }*r \; drd\theta$

conclua...

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