Lado do Pentágono

por theblackmamba Seg 23 Jan 2012, 11:25

Na figura ABCDE é um pentágono regular de lado L. Ache a medida do lado do pentágono FGHIJ.

Lado do Pentágono Pentagono

Não possuo gabarito. Obrigado.

por Werill Ter 24 Jan 2012, 01:34

Eu pensei de uma maneira, mas está meio estranha:

Tomando AF = EF = GB = GA = ... = m, AC = AD = BE = ... = n e o lado do pentágono FGHIJ = x.

Note que x = n - 2m.

Lembremos que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108º. Portanto, o ângulo AÊB mede 36º e, consequentemente, o ângulo AGB também medirá 108º.

Finalmente, utilize a lei dos cossenos para encontrar m e n, e por fim, obteremos x, ou seja, o lado do pentágono FGHIJ.
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O problema, é que não sei calcular o cosseno de 108º Very Happy

por Werill Ter 24 Jan 2012, 01:55

Dei uma pesquisada rápida, e aprendi a calcular a aproximação do cosseno de 108º.

Primeiro, convertemos 108º para radianos:
π = 180º
a = 108º

a = 108π/180 = 3π/5 rad

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Agora utilizamos a expansão de Taylor, com x em radianos:

cos(x) = 1 – x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! ...

Aproximando:
cos(3π/5) = cos(108º) ≈ - 0,31
Utilizando a calculadora, obtive - 0,30901...

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Shocked

Eu acho que deve ter outra forma mais fácil de resolver... Mas como não sabia sobre essa fórmula, resolvi deixa-la aqui Very Happy

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

por theblackmamba Ter 24 Jan 2012, 10:57

Olá Werill,
Vi com prof do meu curso, que dá aulas pra escolas militares:
$\cos108^{\circ} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\cos36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt5}{4}$

Obrigado por ajudar.

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