Octógonos regulares

Os lados de dois octógonos regulares têm respectivamente, 5 cm e 17cm. O comprimento do lado de um terceiro octógono, de área igual à soma das áreas dos outros dois, é:
a)17 cm
b)15 cm
c)14 cm
d)13 cm
e)nda

area de um octogono ~4,82a²

4,82.5² + 4,82.17² = 4,82l²

5² + 17² = l²

l ~ 17cm

christian

A solução NÃO pode ser igual ao lado de um dos ocógonos: deve ser maior!

Uma solução mais completa:

Um octógono regular é composto de 8 triângulos isóceles de lados iguais ao raio do círculo circunscrito, base igual ao lado a do otcógono e ângulo de 45º entre os lados iguais:

Lei dos cossenos: a² = R² + R² - 2*R*R*cos45º ----> a² = 2R² - 2R²*(\/2/2) ----> a² = 2R² - \/2*R² ----> a² = R²(2 - \/2) ---->

R² = a²/(2 - \/2) ----> R² = a²*(2 + \/2)/2

S = 8*R²*sen45º/2 ----> S = 8*[a²*(2 + \/2)/2]*(\/2/2)/2 ----> S = a²*2*(\/2 + 1)

Para a = 5 ----> S' = 5²*2*(\/2 + 1) ---> S' = 50*(\/2 + 1)

Para a = 17 ----> S" = 17²*2*(\/2 + 1) ----> S" = 578*(\/2 + 1)

S = S' + S" ---> S = 628*(\/2 + 1) ----> a²*2*(\/2 + 1) = 628*(\/2 + 1) ----> 2a² = 628 ----> a² = 314 ---> a ~= 17,7

Alternativa E

Primeiramente, peço desculpas por reviver um tópico velho, mas acho que o amigo ali merece respostas. Sou novo no fórum, por isso caso esteja errado me corrijam para que eu mesmo possa aprender. Pois bem, aqui vamos:

O modo que eu achei foi achando uma formula genérica para a área do octógono. Então vamos lá:

1 - Separando um octógono regular genérico em partes achamos 8 triângulos isósceles. Chamemos sua base de L e os lados congruentes de X. Conhecemos também o angulo oposto à L, que é 45º, pois 360º/8 = 45º;

2 - Achemos o valor de X² através da lei dos cossenos:

L² = X² + X² + 2.X.X.cos45º
L² = 4X².cos45º
X² = L²/4.cos45º

Não precisamos tirar a raíz pois quando usarmos a fórmula da área do triângulo, necessitaremos justamente do X²

3 - Achemos a área de cada triângulo isósceles através da fórmula a.b.senӨ/2, sendo que a e b no caso serão X e X:

S = X.X.sen45º/2
S = X².sen45º/2

Substituindo o valor de X²:

S = L².sen45º/8.cos45º

Sabemos que senӨ/cosӨ = tgӨ, logo:

S = L².tg45º/8

Também sabemos que tg45º = 1, logo:

S = L²/8

4 - Multipliquemos o valor encontrado para a área por 8, já que, no total, são 8 triângulos:

Soct = L².8/8
Soct =L²

Pronto descobrimos a fórmula da área do octógono ! Agora é só substiruir valores e resolver uma equação mixuruca, haha ! Vamos lá:

Soct1 = 5² = 25 e Soct2 = 12² = 144
Somando as duas: 25 + 144 = 169

Agora basta calcularmos o valor do lado do terceiro octógono:

Soct3 = 169
L² = 169
L = -13 ou 13, como o valor não pode ser negativo a resposta é 13 cm, letra D.

Espero ter ajudado e vou procurar ajudar mais o fórum. Me avisem se tiver algo errado, e também se gostaram, pois me incentiva a continuar ajudando. Bons estudos amigo!

Anônimo (unnamed)

1)

mas acho que o amigo ali merece respostas.

Companheiro, o "amigo ali" recebeu duas respostas e nem se dignou a abanar o rabo, como se diz em português castiço; já teve, portanto, mais do que merecia.

Por outro lado, participações como a sua são sempre bem vindas porque enriquecem o fórum; é na diversidade de opiniões que aprendemos mais.

2) o enunciado do problema diz claramente:

Os lados de dois octógonos regulares têm respectivamente, 5 cm e 17cm. ...

Porém considero a sua suposição de que o segundo lado é "12" como uma adequada correção deste enunciado.

3) considerado como sendo L o lado de um octógono, evidentemente, a área de tal octógono não poderá ser L². Tal equivaleria dizer que a área do octógono é igual a de um quadrado de igual lado!
O Élcio calculou, acima, corretamente essa área como sendo:
A = L²*2(√2 + 1)

Usando esta fórmula e a sua correção do enunciado, obtém-se para o terceiro octógono L=13cm.

Semnome (unnamed)

fui procurar, e acho que houve engano seu por distração nesta passagem (indiquei correção em vermelho):

L² = X² + X² + 2.X.X.cos45º
L² = 4X².cos45º -----------------> L² = 2X²(1+cos45º)

um abraço.