Trigonometria no triângulo retângulo [6]

por Kelvin Brayan Sex 30 Dez 2011, 09:38

(UFG) Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura abaixo.

Trigonometria no triângulo retângulo [6] Asdet

Trigonometria no triângulo retângulo [6] Asdet

A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em
linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo α, formado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede

(A) 150°
(B) 140°
(C) 130°
(D) 120°
(E) 110°

por ferrreira Sex 30 Dez 2011, 10:35

Chamarei de "z" o lado AD. Chamarei de "x" o lado DB e de "y" o lado BC = AC.

Como AB = 2DB, AB = 2x.

Do triângulo ABD, pitágoras:

4x² = x² + z²
V3x = z

Só que z - y = CD, então:

V3x - y = CD

Aplicando pitágoras no triângulo CDB, vem:

y² = x² + (CD)², e sendo CD = V3x - y:
y² = x² + (V3x-y)²
0 = 4x² - 2V3xy
2V3y = 4x
x = (2V3y)/4.

Agora aplicando lei dos cossenos no triângulo ACB, vem:

4x² = y² + y² - 2y²*cos(alpha)

Sendo x = (2V3y)/4,

48y²/16 = 2y² - 2y²*cos(alpha)
-(y²/2y²) = cos(alpha)
cos(alpha) = -1/2.

Sendo o triângulo ACB isósceles, Alpha = 120°.

por **Elcioschin** Sex 30 Dez 2011, 13:31

ferreira

Acho que houve um pequeno equívoco no início (troca de y por x):

Do triângulo ABD, pitágoras:

AB² = BD² + AD²

4x² = y² + z²

por ferrreira Sex 30 Dez 2011, 18:12

Não entendi, mestre.

"Considerando que a distância de A até B, em
linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D."

BD = x, e AB = 2x. Eu chamei de "y" o lado BC = AC, veja denovo!

Pitagora no triângulo ABD (maior!):

AB² = BD² + AD²
(2x)² = (x)² + z²

Não?

por rihan Sex 30 Dez 2011, 18:39

Gosto sempre de ressaltar para todos essa dica ! Very Happy

Trigonometria no triângulo retângulo [6] T3e0+XIkEmnMRxqeX4YQUNVNCaN1AKgF1gEgG1gHgGxgHQCygXUAyAbWASAbWAeAbGAdALKBdQDIBtYBIBtYB4BsYB0AsoF1AMgG1gEgG1gHgGxgHQCygXUAyAbWASAbWAeAbGAdALKBdQDI5v8B3fMrFEr+IOEAAAAASUVORK5CYII=

A metade de um triângulo equilátero delimitada por uma de suas alturas (=mediana=mediatriz=bissetriz), determina dois triângulos retângulos congruentes, cujos lados são x, x√(3)/2 e x/2, com os ângulos opostos de 90°, 60° e 30°, respectivamente.

Assim, quando houver um triângulo retângulo onde um dos catetos é metade da hipotenusa, se trata de uma metade de um triângulo equilátero, onde o ângulo oposto ao cateto é 30°.

Então, CÂB é 30° = ang(CBA ) por ser AC = CB.

Logo, ang( ACB ) = 120°.

Uma questão quase imediata... Wink