Trigonometria no triângulo retângulo [4]

por Kelvin Brayan Qui 29 Dez 2011, 10:03

(PUC-RS) De um ponto A no solo visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30º e 45º, respectivamente. Se o bastão mede 4m de comprimento, a altura da colina, em metros é igual a:

A) V3 B) 2 C) 2V3 D) 2(V3 + 1) E) 2(V3 + 3)

Trigonometria no triângulo retângulo [4] 34399834

Trigonometria no triângulo retângulo [4] 34399834

Gabarito: D

Tentativa:

tg 30º = h/x => V3/3 = h

tg 45º = (h+4)/x => x = V3/3x + 4 => x = 2(3 + V3). Portanto, eu marcaria a letra E.

Qual foi meu erro?

por **Agente Esteves** Qui 29 Dez 2011, 10:21

Nós vemos o ponto B num ângulo de 30º. Então o ângulo de B em relação à vertical é de 60º.
Mas nós vemos o ponto C num ângulo de 45º. Então o ângulo de C em relação à horizontal é de 45º. Nós temos dois ângulos iguais. Logo, o triângulo formado pelos pontos A, C e o ponto do chão formam um triângulo isósceles. Vamos então calcular a distância entre o ponto A e a colina.

Podemos fazer isso de duas formas diferentes, considerando que a distância entre o ponto B e o chão é x e a distância entre o ponto A e a colina é y.

tg 30º = x / y -> V3 / 3 = x / y -> 3x = yV3
e
tg 45º = (x + 4) / y -> 1 = (x + 4) / y -> x + 4 = y

3x = (x + 4)V3 -> 3x = xV3 + 4V3 -> 3x - xV3 = 4V3 -> (3 - V3)x = 4V3 -> x = 4V3 / (3 - V3) = 4V3(3 + V3) / (9 - 3) = 12V3 + 12 / 6 = 2V3 + 2 m

Então agora descobrimos a altura da colina, que é x. Ela é...
2V3 + 2 = 2(V3 + 1) m

Espero ter ajudado. ^_^

por **abelardo** Qui 29 Dez 2011, 13:09

Concordo plenamente com a senhorita Esteves, a resposta é 2(V3 + 1) m.

Trigonometria no triângulo retângulo [4] Imagemirc

$\dpi{100} \\ \tan 30º=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{x}{x+4} \\ 3x=\sqrt3x+4\sqrt3 \\ 3x -\sqrt3x=4\sqrt3 \\ x(3-\sqrt3)=4\sqrt3 \\ x=\frac{4\sqrt3}{3-\sqrt3}\cdot \frac{3+\sqrt3}{3+\sqrt3} \\ x=\frac{12\sqrt3+12}{6} \\ x=2\sqrt3+2=2(\sqrt3+1)\ \text{m}$

por Kelvin Brayan Qui 29 Dez 2011, 20:55

Obrigado pessoal! E peço mil desculpas pela minha ignorância no raciocínio matemático.

Very Happy

por Endrik Ter 17 Jan 2017, 22:23

Agente Esteves escreveu:Nós vemos o ponto B num ângulo de 30º. Então o ângulo de B em relação à vertical é de 60º.
Mas nós vemos o ponto C num ângulo de 45º. Então o ângulo de C em relação à horizontal é de 45º. Nós temos dois ângulos iguais. Logo, o triângulo formado pelos pontos A, C e o ponto do chão formam um triângulo isósceles. Vamos então calcular a distância entre o ponto A e a colina.

Podemos fazer isso de duas formas diferentes, considerando que a distância entre o ponto B e o chão é x e a distância entre o ponto A e a colina é y.

tg 30º = x / y -> V3 / 3 = x / y -> 3x = yV3
e
tg 45º = (x + 4) / y -> 1 = (x + 4) / y -> x + 4 = y

3x = (x + 4)V3 -> 3x = xV3 + 4V3 -> 3x - xV3 = 4V3 -> (3 - V3)x = 4V3 -> x = 4V3 / (3 - V3) = 4V3(3 + V3) / (9 - 3) = 12V3 + 12 / 6 = 2V3 + 2 m

Então agora descobrimos a altura da colina, que é x. Ela é...
2V3 + 2 = 2(V3 + 1) m

Espero ter ajudado. ^_^

Excelente sua explicação, muito obrigado!