centro de gravidade

Olá a todos,

Preciso da vossa ajuda, estou confrontado com um problema de incompreensão.

Exercício:
Uma barra (AB) de comprimento (l) e de secção constante (s), de onde a massa volúmica (ρ)
vária de forma linear entre o ponto (A (ρA)) e o ponto ( B (ρB)).

Pergunta:

Determine a posição do centro de gravidade da barra (AB)

Concelho para resolução do exercício:
Para identificar o ponto corrente da barra (AB), escolha um eixo (Ax) de forma que (AM=x).
Alem disso, o facto de que a massa volúmica (ρ) variade maneira linear entre os pontos (A) e (B) traduz-se numa relação da forma (ρ= ʎx+ µ).

Determine os coeficientes (ʎ) e (µ) em função de (ρA), (ρB) e (l).
Por ultimo, para determinar a posição do centro de gravidade, consideraremos um elemento infinitamente pequeno de comprimento (dx) e secção (s) no qual se admite que a massa volúmica seja constante.

Obrigado pela ajuda

Imagem em anexo: http://img683.imageshack.us/img683/4265/exercicio.pdf

Euclides escreveu:

Obrigado pela sua rápida resposta.

Estudei o caso mas contínuo com dúvidas.
A situação é quase nova para mim, ou ainda tenho pouco conhecimento em cálculos dos integrais, no entanto gostaria de sabre si a fase alcançada na tua resposta é o ponto final do exercício?
Flaviano

Bem, nesse caso:

a posição do centro de massa deve ser uma média ponderada entre a densidade de cada porção da barra e sua posição. Se a barra fosse formada por uma quantidade de pequenos volumes, cada um com uma densidade e posição, seria:



a diferença é que a variação da densidade é contínua e não podemos calcular por uma soma discreta, devendo ser integrada.

O cálculo indicado deve fornecer a posição do centro de massa da barra medido a partir da extremidade esquerda.

Muito obrigado, agora esta bem intendido.

Flaviano