Centro de Gravidade

Uma barra homogênea prismática e delgada AB é dobrada em ângulo reto em um ponto C que a divide em segmentos 2a e 2b. Onde se situa o centro de massa da barra? Suspende-se o sistema pelo ponto C. Na posição do equilíbrio que ângulos α e β os segmentos CA e CB formam com a vertical?

Resp: xg = a²/(a+b) / yg = b²/(a+b) / tg α = cotg β = (b/a)²

Para determinar o centro de massa da barra, vamos considerar um sistema de coordenadas com origem no ponto C, de forma que o eixo x aponta para o segmento 2a e o eixo y aponta para cima, na direção oposta à aceleração da gravidade. Vamos também assumir que a massa da barra é m e que sua densidade é uniforme.


Podemos dividir a barra em duas partes simétricas em relação ao ponto C, cada uma com comprimento a e massa m/2. O centro de massa de cada uma dessas partes está localizado em seu ponto médio, ou seja, a uma distância a/2 do ponto C ao longo do eixo x. Portanto, o centro de massa da barra como um todo está localizado no ponto médio do segmento BC, a uma distância b ao longo do eixo x.


Para determinar os ângulos α e β, vamos considerar a posição de equilíbrio do sistema, em que a barra está suspensa pelo ponto C. Nessa posição, a resultante das forças que atuam sobre a barra deve ser nula. Essas forças são o peso da barra, que atua no centro de massa, e a força de tração T exercida pela corda que suspende a barra pelo ponto C.
Como a barra está suspensa em equilíbrio, podemos considerar que as forças que atuam sobre ela estão em equilíbrio em cada um dos eixos x e y. No eixo x, a força T está equilibrada pelo peso da metade da barra que está à direita do ponto C, ou seja, a massa m/2 que está localizada a uma distância b do ponto C ao longo do eixo x. No eixo y, a força T está equilibrada pelo peso da metade da barra que está à esquerda do ponto C, ou seja, a massa m/2 que está localizada a uma distância a/2 do ponto C ao longo do eixo x.


Portanto, temos:
T = (m/2)g(b-a/2) T = (m/2)g(a+b/2)


Igualando as duas expressões para T, obtemos:
b-a/2 = a+b/2 b = a


Portanto, os segmentos CA e CB formam um ângulo de 45 graus com a vertical.