Expressão Trigonométrica

por **Giovana Martins** Seg 23 Set 2024, 20:59

Para quem quiser tentar.

Qual o valor da expressão adiante?

\[\mathrm{\frac{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )+tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )+tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}}\]

por **fantecele** Ter 24 Set 2024, 17:03

Tem uma forma bem simples de fazer essa, usando que

tg(6∏/9) = (tg(2∏/9) + tg(4∏/9))/(1 - tg(2∏/9)tg(4∏/9))

e

tg(3∏/9) = - tg(6∏/9)

Substitui tg(2∏/9) + tg(4∏/9) encontrado acima na razão lá e vê que a razão vai ser 1.

Eu tava tentando fazer usando a técnica de encontrar um polinômio que tinha como raízes essas tangentes, mas não consegui kkkk, por acaso vc saberia fazer por essa forma? Ou essa aí que fiz acima seria a única forma mesmo?

por **Giovana Martins** Ter 24 Set 2024, 17:23

Boa tarde, Fantecele. Quanto tempo!

Você e os seus famosos "polinômios trigonométricos" kkkkk.

Não tentei assim.

O que eu fiz foi o seguinte: note que os ângulos somados resultam em 180°. Daí fazendo algumas manipulações trigonométricas você conclui que sin(a) + sin(b) + sin(c) = sin(a)sin(b)sin(c). Isso é válido quando a soma dos ângulos internos do triângulo resulta em 180°.

Daqui a pouco eu posto.

por **Giovana Martins** Ter 24 Set 2024, 18:17

Primeiramente, veja que:

\[\frac{2\pi }{9} +\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{9}=\pi \]

Como a soma resulta em 180°, irei associar estes ângulos aos ângulos internos de um triângulo.

Genericamente, sejam x, y e z os ângulos internos do triângulo. A partir daqui, seguem algumas manipulações algébricas.

\[\mathrm{x+y+z=\pi \therefore\ tan(x+y+z)=0\to \frac{tan(x)+tan(y+z)}{1-tan(x)tan(y+z)}=0\ \therefore tan(x)+tan(y+z)=0}\]

\[\mathrm{ tan(x)+\frac{tan(y)+tan(z)}{1-tan(y)tan(z)}=0\ \therefore\ tan(x)[1-tan(y)tan(z)]+tan(y)+tan(z)=0}\]

\[\mathrm{ tan(x)-tan(x)tan(y)tan(z)+tan(y)+tan(z)=0\ \therefore\ tan(x)+tan(y)+tan(z)=tan(x)tan(y)tan(z)}\]

\[\mathrm{Fazendo\ x=\frac{2\pi }{9},\ y=\frac{\pi }{3}\ e\ z=\frac{4\pi }{9}:} \]

\[\mathrm{\frac{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )+tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )+tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}=\frac{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}{tan\left ( \frac{2\pi }{9} \right )tan\left ( \frac{\pi}{3} \right )tan\left ( \frac{4\pi}{9} \right )}=1}\]

por **fantecele** Ter 24 Set 2024, 22:48

Pois é, quanto tempo kkkk, de vez em quando eu venho aqui, acabo não logando na conta mas venho kkkk

E po, legal a sua solução, não lembrava de tal resultado.