Expressão Trigonométrica

Boa tarde, pessoal.

[latex]Se \frac{\cos x}{\cos y} + \frac{\sin x}{\sin y} = -1, \text{ calcule } S = \frac{3\cos y + \cos(3y)}{\cos x} + \frac {3\sin y - \sin(3y)}{\sin x}[/latex]

Me disseram que o gabarito é S = 4;
Eu travei em S = cos³y/cosx + sen³y/senx 
Segue o print: 

Buenas, essa caiu no IME 2016/2017. Indico a resolução do FB, segue link:

https://comentario.fariasbrito.com.br/vest/index.php?vid=68

scofield escreveu:Buenas, essa caiu no IME 2016/2017. Indico a resolução do FB, segue link:

https://comentario.fariasbrito.com.br/vest/index.php?vid=68

Obrigado, parceiro.
Pior que eu não gostei das soluções apresentadas por eles, vou tentar seguir o caminho que estou trilhando kk. Toda noite faço um pouco, e acho que estou no caminho certo. Quando eu conseguir resolvê-la, vou postar aqui. 
Mas muito obrigado por compartilhar isso, pelo menos agora não estou como um cego num labirinto escuro sem lanterna, possuo um norte.

LinkGyn12 escreveu:

scofield escreveu:Buenas, essa caiu no IME 2016/2017. Indico a resolução do FB, segue link:

https://comentario.fariasbrito.com.br/vest/index.php?vid=68

Obrigado, parceiro.
Pior que eu não gostei das soluções apresentadas por eles, vou tentar seguir o caminho que estou trilhando kk. Toda noite faço um pouco, e acho que estou no caminho certo. Quando eu conseguir resolvê-la, vou postar aqui. 
Mas muito obrigado por compartilhar isso, pelo menos agora não estou como um cego num labirinto escuro sem lanterna, possuo um norte.

Olá, olá, senhoras e senhores. Retorno aqui, após alguns dias para trazer a solução da questão que eu não consegui resolver.
Finalmente, nessa madrugada, cheguei na solução, após muitas tentativas e erros, vi soluções que não achei triviais e segui com meu conhecimento simples, insistindo. Vamos lá:

'Começando do começo': [latex]\frac{\cos x}{\cos y} + \frac{\sin x}{\sin y} = -1[/latex]  

=> [latex]\frac{\cos x \sin y + \cos y \sin x}{\cos y \sin y} = -1[/latex]  

=> [latex]\sin(x + y) = - \cos y \sin y[/latex]  

Multiplicando ambos os lados por 2, temos: [latex]2 \sin(x + y) = - \sin(2y)[/latex]  

Guardemos estas duas igualdades:  

[latex]\sin(x + y) = - \cos y \sin y[/latex] (I)  

[latex]2 \sin(x + y) = - \sin(2y)[/latex] (II)  

Vamos trabalhar em S agora:  

[latex]S = \frac{3 \cos y + \cos 3y}{\cos x} + \frac{3 \sin y - \sin 3y}{\sin x}[/latex]  

Até então, é desenvolver isto:  

[latex]S = \frac{3 \cos y + 4 \cos^3 y - 3 \cos y}{\cos x} + \frac{3 \sin y - [3 \sin y - 4 \sin^3 y]}{\sin x}[/latex]  

=> [latex]S = \frac{4 \cos^3 y}{\cos x} + \frac{4 \sin^3 y}{\sin x}[/latex]  

[latex]S = 4 \left(\frac{\cos^3 y}{\cos x} + \frac{\sin^3 y}{\sin x}\right)[/latex]  

Por enquanto está tudo tranquilo, aqui começa um monte de caminhos e possibilidades, apresentarei por onde trilhei



[latex]S = 4 \left(\frac{\cos^3 y \sin x + \sin^3 y \cos x}{\sin x \cos x}\right)[/latex]  

Como este denominador é repetitivo, chamarei [latex]\sin x \cos x = a[/latex]  

Vamos fatorar os cubos do cosseno e seno também:  

[latex].::. S = \frac{4}{a} \left(\cos^2 y \cos y \sin x + \sin^2 y \sin y \cos x\right)[/latex]  

Sabemos que pela relação fundamental: [latex]\cos^2 k = 1 - \sin^2 k[/latex] ; [latex]\sin^2 k = 1 - \cos^2 k[/latex]  

Logo: [latex]S = \frac{4}{a} \left([1 - \sin^2 y] \cos y \sin x + [1 - \cos^2 y] \sin y \cos x\right)[/latex]  

Desenvolvendo com muito cuidado:  

[latex]S = \frac{4}{a} \left[\cos y \sin x - \cos y \sin x \sin^2 y + \sin y \cos x - \sin y \cos x \cos^2 y\right][/latex]  
  
Vamos separar os termos que acompanham seno e cosseno ao quadrado dos que não possuem, veja:  

[latex]S = \frac{4}{a} \left[\cos y \sin x + \sin y \cos x - \cos y \sin x \sin^2 y - \sin y \cos x \cos^2 y\right][/latex]  

Lembrando que [latex]\cos y \sin x + \sin y \cos x = \sin(x + y)[/latex] e colocando -1 em evidência, temos:  

[latex]S = \frac{4}{a} \left[\sin(x + y) - [\cos y \sin x \sin^2 y + \sin y \cos x \cos^2 y]\right][/latex]  

Essa parte, na minha vez de resolver, achei complicada, tentei forçar uma relação fundamental, mas não deu certo. O caminho que segui foi colocar 
[latex]\cos y[/latex] e [latex]\sin y[/latex] em evidência, e é isso que vou replicar:  

[latex]S = \frac{4}{a} \left[\sin(x + y) - \cos y \sin y (\sin x \sin y + \cos x \cos y)\right][/latex]  

Quando eu cheguei aqui, fiquei muito feliz, há algumas simplificações;  

Lembre-se que: [latex]\cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x - y)[/latex]; e lembremos da igualdade (I) lá em cima, veja:  

[latex]S = \frac{4}{a} \left[\sin(x + y) + \sin(x + y) \cos(x - y)\right][/latex]  

Há algumas maneiras de proceder aqui, colocar [latex]\sin(x + y)[/latex] em evidência, ficaríamos com:  

[latex]S = \frac{4 \sin(x + y)}{a} (1 + \cos(x - y))[/latex]  

Fiquei muito tempo aqui, talvez há alguma solução por este caminho, mas não enxerguei.  

Para mim o natural foi dar passos para trás e distribuir o 4 do [latex]\frac{4}{a}[/latex], veja:  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[4 \sin(x + y) + 4 \sin(x + y) \cos(x - y)\right][/latex]  

É razoável enxergar um prostaférese aqui  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[4 \sin(x + y) + 2 \left(2 \sin(x + y) \cos(x - y)\right)\right][/latex]  

Fórmulas de Werner dizem: [latex]\sin k + \sin k' = 2 \sin \left(\frac{k + k'}{2}\right) \cos \left(\frac{k - k'}{2}\right)[/latex]  

Vamos chamar:  

[latex]\frac{k + k'}{2} = x + y \Rightarrow k + k' = 2x + 2y[/latex]  

[latex]\frac{k - k'}{2} = x - y \Rightarrow k - k' = 2x - 2y[/latex]  

Somando este sistema: [latex]2k = 4x \Rightarrow k = 2x[/latex] ; [latex]k' = 2y[/latex]  

Logo: [latex]2 \sin(x + y) \cos(x - y) = \sin(2x) + \sin(2y)[/latex]  

Substituindo:  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[4 \sin(x + y) + 2 (\sin 2x + \sin 2y)\right][/latex]  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[2.2 \sin(x + y) + 2 \sin 2x + 2 \sin 2y\right][/latex]  

Lembremos também da relação (II) lá em cima  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[-2 \sin 2y + 2 \sin 2x + 2 \sin 2y\right][/latex]  

[latex]S = \frac{1}{a} \left[2 \sin 2x\right][/latex]  

[latex]\sin(2x) = 2 \sin x \cos x[/latex], [latex]a = \sin x \cos x[/latex]  


[latex]S = \frac{2 \cdot [2 \sin x \cos x]}{\sin x \cos x} \Rightarrow S = 4[/latex]  

Finalmente... Quanta dor de cabeça.