16- ITA 2011

Um fio condutor é derretido quando o calor gerado pela corrente que passa por ele se mantém maior que o calor perdido pela superfície do fio ( desprezando a condição de calor pelos contatos).Dado que uma corrente de 1 A é a mínima necessária para derreter um dio de seção transversal circular de 1mm de raio e 1 cm de comprimento, determine a corrente mínima necessária para derreter outro fio da mesma substância com seção transversal circular de 4 mm de raio e 4 cm de comprimento.
A)1/8 A
B)1/4 A
C)1 A
D)4 A
E)8 A

Já vi a solução dessa questão em diversos sites, mas não explicam o por que de usarem "que o derretimento do fio está relacionado ao quociente Potência/(Área lateral do fio)"

Se alguém puder me explicar detalhadamente agradeço!!!!

Desde já, muito obrigado!!!

O fio perde calor pela extensão da sua superfície. Há, portanto, um fluxo limite. No primeiro fio esse limite é estabelecido. O segundo fio vai derreter se tiver a mesma relação Potência/Superfície.

Imagine o calor como energia que flui.

Energia que flui de uma região com temperatura mais alta para uma região com temperatura mais baixa.

Imagine que essa energia foi gerada pelas colisões no interior do fio, entre os elétrons da corrente e os do fio, que começa a subir de temperatura SE ele não puder transferir essa energia para o exterior (que tem menor temperatura...).

Se essa energia não for dissipada, o fio vai continuar "esquentando", sua temperatura vai subir indefinidamente, até que o ponto de fusão do material do fio, geralmente cobre, seja alcançado.

Aí ele se funde. Ao fundir se rompe e a corrente elétrica cessa. Mas, já era o fio...

Agora imagine providências para isso não acontecer...

Diminuir a corrente diminuindo a ddp; diminuir a temperatura do ambiente, refrigerar mais, ventilar; aumentar a área de contato entre a superfície do fio e o ambiente para que o calor tenha como sair mais rapidamente.

O fio, geralmente é um cilindro, se for um cabo único, ou uma malha de cilindros, que pode ser vista como um cilindro também...

Mas, simplificando, o fio em questão é constituído de só um cilindro maciço, sua área lateral é função do raio e do comprimento.

O fluxo φ é o movimento de alguma quantidade (massa, energia) por tempo. Quando falamos em densidade de fluxo, Φ, falamos em fluxo por área , ou potência por área.

Essa terminologia é confusa no Brasil e no resto do mundo.

Em inglês, nós temos a palavra "flux" e a palavra "flow" e, em português, traduzimos a ambas por "fluxo". Poderíamos ter traduzido por "o fluxo" e "o fluir"

Mas, mesmo nos países de língua inglesa há confusão.

Esquecendo terminologias, o que queremos é que passe mais energia por tempo e por área para não aumentar demasiadamente a temperatura do fio, e a área é a da superfície lateral, pois é a que existe...

A densidade de fluxo de calor do material, Φ, é característica do material, que, no primeiro experimento, nos deu:

Φ= φ/A_Lat

Onde:

A_Lat = 2.Π.r.c (Área Lateral do Cilindro)

φ é o fluxo (no caso, potência elétrica)

P = V.I ou P = V. (V/R) = V²/R ou P = (R.I).I = R.I²

Como temos os dados em função de R e I:

φ = R.I²

R = ρ.c/A_ST

A_ST = Π.r² (Àrea da Seção Transversal do Cilindro)

R = ρ.c/( Π.r²)

φ = I².ρ.c/( Π.r²)

Φ = φ/(2.Π.r.c)

Φ = I².ρ/(2 Π².r³)

Φ = ρ/(2 Π².r³)

Para a segunda experiência, temos:

Φ' = I'².ρ/(2 Π².(4r)³)

Como Φ' = Φ

I'².ρ/(2 Π².(4r)³) = ρ/(2 Π².r³)

I'² = 4³ = (2²)³ = (2³)²

I' = 8 A

Um exemplo, perto de você, está no seu computador, seja na CPU, seja na GPU (Unidade de Processamento Gráfico), que usam dissipadores de calor para tentar dar conta das potências sempre crescentes destes chips fantásticos.

O mais simples, em vez de se usar a superfície plana do chip, acopla uma superfície cheia de aletas ao mesmo, para multiplicar a superfície da interface do conjunto com o ambiente:

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Quando o aumento da área não dá conta do recado, usa-se ventiladores:

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E se ainda não der resultado, vai na refrigeração por meio de líquidos mesmo !

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Saudações Dissipativas ! !

E Vamos Lá !

Muuuuuuuuuuito obrigado RIHAN!
VLWWWWWWWWW EUCLIDES!!!

E vamos Lá ! !

Também podemos pensar dessa forma: 

Como o calor é diretamente proporcional à potencia, temos que:

-Potência relativa à corrente que passa pelo fio:
Pot1 = R.i², R = (ρ.L)/A, A = ∏.r²

-Potência relativa ao calor perdido pela superfície:
Temos que o calor perdido será diretamente proporcional à área superficial do fio (2.∏.r.L), multiplicado por uma constante k.
Pot2 = 2.∏.r.L.K

A situação extrema - iminência de derretimento - ocorrerá quando o calor perdido pela superfície for igual ao gerado pela corrente. Então podemos igualar as potências em questão:
Pot1 = Pot2
((ρ.L)/∏.r²).i² = 2.∏.r.L.K
i²/r³ = 2.∏².K/ρ = cte

Logo:
i²/r³ = i'²/r'³
(1A)²/(1mm)³ = i'²/(4mm)³
i' = 8A

Uma outra solução para essa questão (que acho particularmente intrigante):


Na situação limite (início do derretimento), o calor gerado pela corrente através do fio será igual ao calor irradiado por este.

Logo, pela Lei de Stefan-Boltzmann:

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