FME 1 Questão 530 (a)

530. Resolva, em ℝ, as equações:
a) x + √(x² + 16) = 40/(√(x² + 16))

Dada a equação:
\[ x + \sqrt{x^2 + 16} = \frac{40}{\sqrt{x^2 + 16}} \]

Vamos resolver a equação nos reais.

Primeiro, seja \( y = \sqrt{x^2 + 16} \). Assim, a equação se torna:
\[
x + y = \frac{40}{y}
\]

Multiplicando ambos os lados por \( y \) para eliminar o denominador:
\[
xy + y^2 = 40
\]

Substituímos \( y \) de volta por \( \sqrt{x^2 + 16} \):
\[
x \sqrt{x^2 + 16} + (\sqrt{x^2 + 16})^2 = 40 \\
x \sqrt{x^2 + 16} + x^2 + 16 = 40
\]

Isolando \( x \sqrt{x^2 + 16} \):
\[
x \sqrt{x^2 + 16} = 40 - x^2 - 16 \\
x \sqrt{x^2 + 16} = 24 - x^2
\]

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
\begin{align}
x^2 (x^2 + 16) &= (24 - x^2)^2 \\
x^2 x^2 + 16x^2 &= 576 - 48x^2 + x^4 \\
x^4 + 16x^2 &= 576 - 48x^2 + x^4
\end{align}

Cancelando \( x^4 \) dos dois lados:
\[
16x^2 = 576 - 48x^2
\]

Somando \( 48x^2 \) aos dois lados:
\[
64x^2 = 576
\]

Dividindo ambos os lados por 64:
\[
x^2 = 9
\]

Portanto:
\[
x = \pm 3
\]

Devemos verificar se essas soluções satisfazem a equação original.

Para \( x = 3 \):
\begin{align}
x + \sqrt{x^2 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{x^2 + 16}} \\
3 + \sqrt{3^2 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{3^2 + 16}} \\
3 + \sqrt{9 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{9 + 16}} \\
3 + \sqrt{25} &= \frac{40}{\sqrt{25}} \\
3 + 5 &= \frac{40}{5} \\
8 &= 8
\end{align}

Para \( x = -3 \):
\begin{align}
x + \sqrt{x^2 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{x^2 + 16}} \\
-3 + \sqrt{(-3)^2 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{(-3)^2 + 16}} \\
-3 + \sqrt{9 + 16} &= \frac{40}{\sqrt{9 + 16}} \\
-3 + \sqrt{25} &= \frac{40}{\sqrt{25}} \\
-3 + 5 &= \frac{40}{5} \\
2 &= 8
\end{align}

A solução \( x = -3 \) não satisfaz a equação original.

Portanto, a única solução real é:
\[
x = 3
\]